Questão de Matemática — Soma dos Ângulos Internos do Triângulo — CESPE / CEBRASPE 2024

Soma dos ângulos internos do triângulo

Gabarito: letra E. A alternativa correta é a que soma os ângulos $a + g + e + d + f = 180°$, pois esses cinco ângulos são exatamente os ângulos internos do triângulo ADE, e a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Essa é uma propriedade fundamental da geometria euclidiana plana, válida para todos os triângulos, independentemente de sua forma ou tamanho.

Para entender por que essa é a resposta, precisamos primeiro compreender o que a figura representa. Temos um triângulo de vértices A, D e E. A partir do vértice E, são traçados dois segmentos de reta, EB e EC, que ligam E a dois pontos B e C sobre a base AD. Esses segmentos dividem o triângulo original em três triângulos menores: ABE, BCE e CDE. As letras a, b, c, d, e, f, g representam os ângulos internos desses triângulos menores, e a questão pede que identifiquemos qual relação entre esses ângulos é sempre verdadeira.

A chave para resolver a questão está em identificar quais ângulos formam o triângulo original ADE. Observando a figura, o triângulo ADE tem como vértices A, D e E. Os ângulos internos desse triângulo são: o ângulo no vértice A, que é o ângulo $a$; o ângulo no vértice D, que é o ângulo $g$; e o ângulo no vértice E, que é formado pela soma dos ângulos $e$, $d$ e $f$ (pois os segmentos EB e EC dividem o ângulo em E em três partes). Portanto, a soma dos ângulos internos do triângulo ADE é $a + g + e + d + f$, e essa soma é sempre igual a 180°.

A propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo é um dos resultados mais básicos e importantes da geometria plana. Ela pode ser demonstrada traçando uma reta paralela a um dos lados do triângulo passando pelo vértice oposto, e usando a propriedade de que ângulos alternos internos são congruentes. Essa propriedade é a base para inúmeros outros resultados, como a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer, que é dada por $(n-2) \times 180°$, onde $n$ é o número de lados.

A banca explora aqui a confusão entre os ângulos dos triângulos menores e os ângulos do triângulo maior. O candidato pode ser tentado a somar ângulos de triângulos diferentes ou a usar propriedades de ângulos externos, mas a chave é sempre identificar corretamente quais ângulos pertencem ao triângulo ADE. A alternativa E é a única que soma exatamente os ângulos internos do triângulo ADE, e por isso é a correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $a + g = e + d$. Essa relação não é verdadeira em geral. Ela só seria válida em casos muito específicos, como quando o triângulo ADE é isósceles com $AE = DE$, o que não é garantido pela figura. A soma dos ângulos em um triângulo não implica que a soma de dois ângulos seja igual à soma de outros dois, a menos que haja uma relação de simetria que não está presente no enunciado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $b = e + f + c + d$. O ângulo $b$ é um ângulo interno do triângulo ABE, e a soma $e + f + c + d$ envolve ângulos de triângulos diferentes. Não há nenhuma propriedade geométrica que relacione diretamente o ângulo $b$ com a soma desses quatro ângulos. Essa relação é arbitrária e não se sustenta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $a + g + f + c = 360°$. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. No entanto, os ângulos $a$, $g$, $f$ e $c$ não formam um quadrilátero, pois $a$ e $g$ são ângulos do triângulo ADE, enquanto $f$ e $c$ são ângulos de triângulos menores. Não há uma figura geométrica que contenha exatamente esses quatro ângulos como ângulos internos, então a soma não é necessariamente 360°.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que $g + f + e = 90°$. Essa relação só seria verdadeira se o triângulo CDE fosse retângulo no vértice E, o que não é garantido pela figura. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, e não há informação que indique que $g + f + e$ seja um ângulo reto. Essa é uma suposição sem fundamento.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que $a + g + e + d + f = 180°$. Como vimos, esses cinco ângulos são exatamente os ângulos internos do triângulo ADE: $a$ é o ângulo no vértice A, $g$ é o ângulo no vértice D, e $e + d + f$ é o ângulo no vértice E. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°, portanto essa relação é sempre verdadeira.

A pegadinha desta questão está em identificar corretamente quais ângulos formam o triângulo ADE. O candidato pode se confundir e tentar somar ângulos de triângulos diferentes, mas a chave é perceber que o ângulo no vértice E é dividido em três partes pelos segmentos EB e EC. Uma dica para resolver questões como essa é sempre desenhar a figura e marcar claramente quais ângulos pertencem a cada triângulo, para evitar somar ângulos de triângulos diferentes.

Gabarito: letra E