Questão de Matemática — Inequações de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2024

Inequação do 2º grau: lucro em função do preço

Gabarito: letra A. A desigualdade $-10p^2 + 480p - 4320 > 0$ é uma inequação do 2º grau com concavidade para baixo; resolvendo-a, obtém-se o intervalo $12 < p < 36$, ou seja, o preço deve estar entre R$ 12,00 e R$ 36,00 para que a empresa registre lucro.

O problema apresenta uma função lucro quadrática, típica de situações em que há um preço ótimo que maximiza o lucro, e preços muito baixos ou muito altos geram prejuízo. A inequação $-10p^2 + 480p - 4320 > 0$ pede os valores de $p$ para os quais o lucro é positivo. Como o coeficiente de $p^2$ é negativo ($a = -10$), a parábola tem concavidade voltada para baixo, e a região em que a função é positiva fica entre as raízes da equação associada.

Para resolver, primeiro encontramos as raízes da equação $-10p^2 + 480p - 4320 = 0$. Podemos simplificar dividindo todos os termos por $-10$, invertendo o sinal da desigualdade (cuidado: ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte). Assim, temos $p^2 - 48p + 432 < 0$. Agora, resolvemos a equação $p^2 - 48p + 432 = 0$ usando a fórmula de Bhaskara:

Portanto, as raízes são $p_1 = \frac{48 - 24}{2} = 12$ e $p_2 = \frac{48 + 24}{2} = 36$.

Como a parábola tem concavidade para cima (após a simplificação, o coeficiente de $p^2$ é positivo), a inequação $p^2 - 48p + 432 < 0$ é satisfeita para valores de $p$ entre as raízes, ou seja, $12 < p < 36$. Esse é exatamente o intervalo que a alternativa A apresenta.

A pegadinha da questão está em dois pontos: primeiro, a tentação de esquecer de inverter o sinal da desigualdade ao dividir por um número negativo; segundo, a confusão entre o intervalo onde a função é positiva e onde é negativa, dependendo da concavidade. Aqui, a banca explora exatamente essa inversão: quem não inverte o sinal ao dividir por $-10$ chegaria a $p^2 - 48p + 432 > 0$, cuja solução seria $p < 12$ ou $p > 36$, o que corresponderia à alternativa D (parcialmente) ou E, mas não à correta.

Guarde o critério decisivo: para uma inequação do 2º grau, identifique as raízes, verifique a concavidade e determine o intervalo. É exatamente nesse raciocínio que as alternativas se separam.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta o intervalo $12 < p < 36$, que é exatamente a solução da inequação. Como vimos, as raízes da equação associada são 12 e 36, e a função é positiva entre elas. Portanto, para que a empresa registre lucro, o preço deve estar nesse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B afirma que p = R\ 1.440,00$. Esse valor não é uma raiz da equação e não satisfaz a inequação. Na verdade, $p = 1440$ está muito acima do intervalo de lucro, e a função lucro seria negativa nesse ponto. O número 1440 parece ser um distrator: talvez o candidato tenha multiplicado 12 por 120 ou feito alguma operação incorreta com os coeficientes. Não há nenhuma relação direta entre 1440 e os dados do problema.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma que $p > 0$. Isso é muito amplo: inclui preços entre 0 e 12, onde a função é negativa (prejuízo), e preços acima de 36, onde também há prejuízo. A condição correta é restrita ao intervalo entre as raízes, não a todos os preços positivos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D afirma que p > R\ 36,00$. Esse é o erro clássico de quem não inverte o sinal da desigualdade ao dividir por um número negativo, ou de quem confunde a concavidade. Para $p > 36$, a função lucro é negativa, ou seja, a empresa teria prejuízo. O intervalo correto é $12 < p < 36$, não $p > 36$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E afirma que 0 < p < R\ 12,00$. Esse intervalo também está errado: para preços entre 0 e 12, a função lucro é negativa. A empresa só tem lucro para preços acima de 12 e abaixo de 36. A alternativa E representa a outra parte do erro de concavidade: quem acha que a função é positiva fora do intervalo das raízes.

Gabarito: letra A