Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2024

Geometria espacial: área superficial de um cone com semiesfera

Gabarito: letra A. A área superficial total da guloseima é a soma da área lateral do cone com a área da superfície da semiesfera (a base do cone e a base da semiesfera ficam "coladas" e não são superfície exposta). A área lateral do cone é $\pi r g$, com geratriz $g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 11^2} = \sqrt{130}$ cm, resultando em $3\pi\sqrt{130}$ cm². A área da superfície de uma semiesfera é $2\pi r^2 = 2\pi \cdot 3^2 = 18\pi$ cm². Somando: $18\pi + 3\pi\sqrt{130}$ cm².

O problema mistura dois sólidos: um cone circular reto e uma semiesfera apoiada sobre a base do cone. A "pegadinha" está em entender o que conta como superfície exposta. A casquinha é o cone — mas o sorvete de morango (a semiesfera) fica sobre a abertura do cone, então a base do cone (um círculo de área $\pi r^2$) não está exposta, pois está coberta pela semiesfera. Da mesma forma, a base plana da semiesfera (também um círculo de área $\pi r^2$) não está exposta, pois está em contato com o sorvete de creme dentro do cone. Portanto, a área total é apenas a área lateral do cone somada à área da superfície curva da semiesfera.

Vamos calcular cada parte com calma. Primeiro, a área lateral do cone: a fórmula é $A_{lat} = \pi r g$, onde $r$ é o raio da base e $g$ é a geratriz (a distância do vértice até um ponto da circunferência da base, medida ao longo da superfície). A geratriz se calcula pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura, o raio e a própria geratriz: $g = \sqrt{r^2 + h^2}$. Com $r = 3$ cm e $h = 11$ cm, temos $g = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$ cm. Então $A_{lat} = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{130} = 3\pi\sqrt{130}$ cm².

Agora, a semiesfera: a área da superfície de uma esfera inteira é $4\pi r^2$. Uma semiesfera tem metade disso, ou seja, $2\pi r^2$. Com $r = 3$ cm, temos $A_{semiesfera} = 2\pi \cdot 9 = 18\pi$ cm². Somando as duas áreas: $A_{total} = 18\pi + 3\pi\sqrt{130}$ cm², que é exatamente a alternativa A.

A confusão mais comum é somar a área da base do cone ($\pi r^2 = 9\pi$) ou a área do círculo da semiesfera, mas isso estaria errado porque essas superfícies estão internas à guloseima, não expostas. Outra confusão é usar a área total do cone ($\pi r (r + g)$), que incluiria a base, ou calcular a área da semiesfera como se fosse uma esfera inteira ($4\pi r^2 = 36\pi$).

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta certa. A área lateral do cone é $3\pi\sqrt{130}$ cm² (pois a geratriz é $\sqrt{130}$ cm) e a área da superfície curva da semiesfera é $18\pi$ cm² (metade de $4\pi \cdot 3^2$). A base do cone e a base da semiesfera não entram na conta, pois estão em contato uma com a outra. A soma é $18\pi + 3\pi\sqrt{130}$ cm².

Alternativa B — ❌ Incorreta

O erro está no coeficiente do primeiro termo: $27\pi$ em vez de $18\pi$. Isso acontece se o candidato calcula a área da semiesfera como $3\pi r^2$ (como se fosse a área de um círculo somada à metade da esfera) ou soma a área da base do cone ($9\pi$) à área da semiesfera ($18\pi$), resultando em $27\pi$. Mas a base do cone não é superfície exposta — ela está coberta pela semiesfera.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $18\pi$ cm², que é somente a área da superfície curva da semiesfera. Esquece completamente a área lateral do cone ($3\pi\sqrt{130}$ cm²). É uma alternativa que captura quem calcula só uma das partes da guloseima.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $69\pi$ cm² não corresponde a nenhuma combinação correta das áreas. Se o candidato somasse a área total do cone ($\pi r (r + g) = 3\pi (3 + \sqrt{130})$) com a área da semiesfera ($18\pi$), obteria $9\pi + 3\pi\sqrt{130} + 18\pi = 27\pi + 3\pi\sqrt{130}$, que não é $69\pi$. O número $69$ parece vir de uma manipulação algébrica incorreta, como calcular a geratriz como $h + r = 14$ e depois fazer $3\pi \cdot 14 + 27\pi = 69\pi$, mas isso está errado porque a geratriz não é a soma da altura com o raio.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $33\pi$ cm², que é a soma de $18\pi$ (semiesfera) com $15\pi$ — mas $15\pi$ não é a área lateral do cone. Se o candidato usasse a geratriz como $g = h = 11$ cm (ignorando o raio), teria $3\pi \cdot 11 = 33\pi$, mas isso está errado: a geratriz é $\sqrt{130}$ cm, não $11$ cm.

Gabarito: letra A