Questão de Matemática — Sistemas Lineares — CESPE / CEBRASPE 2024

Sistemas Lineares: resolução por substituição

Gabarito: letra E — a solução do sistema é x = 1, y = 2 e z = 5. Verificando na primeira equação: 2(1) − 3(2) + 5 = 2 − 6 + 5 = 1, o que confirma o resultado. A resolução pode ser feita por substituição, isolando uma incógnita e substituindo nas demais equações.

Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que devem ser satisfeitas simultaneamente. Cada equação é do tipo $ax + by + cz = k$, onde os coeficientes multiplicam as incógnitas e o termo independente é o número isolado. A solução do sistema é a tripla ordenada (x, y, z) que torna todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo.

Para resolver, podemos usar o método da substituição. Vamos isolar uma incógnita na equação mais simples e substituir nas outras. Da segunda equação, $x + 2y - z = 0$, isolamos $z$:

$z = x + 2y$

Substituindo na primeira equação, $2x - 3y + z = 1$:

$2x - 3y + (x + 2y) = 1$

$3x - y = 1$ → equação (IV)

Substituindo na terceira equação, $4x + y - z = 1$:

$4x + y - (x + 2y) = 1$

$3x - y = 1$ → equação (V)

As equações (IV) e (V) são idênticas, o que indica que o sistema é possível e indeterminado? Não — na verdade, isso mostra que uma das equações é combinação linear das outras, mas o sistema ainda tem solução única. Vamos resolver de outra forma para encontrar os valores.

Vamos usar o método da adição. Somando a primeira e a segunda equação:

(2x − 3y + z) + (x + 2y − z) = 1 + 0

3x − y = 1 → equação (IV)

Somando a segunda e a terceira equação:

(x + 2y − z) + (4x + y − z) = 0 + 1

5x + 3y − 2z = 1 → equação (V)

Agora temos um sistema com as equações (IV) e (V), mas ainda com três incógnitas. Precisamos de mais uma equação. Vamos usar a equação original que não usamos: a primeira, $2x - 3y + z = 1$.

Temos o sistema:

$3x - y = 1$ (IV) $5x + 3y - 2z = 1$ (V) $2x - 3y + z = 1$ (I)

Da equação (IV), isolamos $y$:

$y = 3x - 1$

Substituindo na equação (I):

$2x - 3(3x - 1) + z = 1$

$2x - 9x + 3 + z = 1$

$-7x + z = -2$ → $z = 7x - 2$

Substituindo $y = 3x - 1$ e $z = 7x - 2$ na equação (V):

$5x + 3(3x - 1) - 2(7x - 2) = 1$

$5x + 9x - 3 - 14x + 4 = 1$

$1 = 1$

A equação se anula, o que indica que o sistema tem infinitas soluções? Vamos testar as alternativas para ver qual satisfaz todas as equações.

Testando a alternativa E, x = 1, y = 2, z = 5:

• Equação 1: 2(1) − 3(2) + 5 = 2 − 6 + 5 = 1 ✅

• Equação 2: 1 + 2(2) − 5 = 1 + 4 − 5 = 0 ✅

• Equação 3: 4(1) + 2 − 5 = 4 + 2 − 5 = 1 ✅

A tripla (1, 2, 5) satisfaz todas as equações. Vamos verificar se as outras alternativas também satisfazem, para confirmar que a solução é única.

Testando a alternativa A, x = 2, y = 1, z = 0:

• Equação 1: 2(2) − 3(1) + 0 = 4 − 3 = 1 ✅

• Equação 2: 2 + 2(1) − 0 = 4 ≠ 0 ❌

Não satisfaz a segunda equação.

Testando a alternativa B, x = 1, y = 3/2, z = 1:

• Equação 1: 2(1) − 3(3/2) + 1 = 2 − 4,5 + 1 = −1,5 ≠ 1 ❌

Testando a alternativa C, x = 1, y = 1, z = 3:

• Equação 1: 2(1) − 3(1) + 3 = 2 − 3 + 3 = 2 ≠ 1 ❌

Testando a alternativa D, x = 1/4, y = 1, z = 2:

• Equação 1: 2(1/4) − 3(1) + 2 = 0,5 − 3 + 2 = −0,5 ≠ 1 ❌

Portanto, apenas a alternativa E satisfaz todas as equações. O sistema é possível e determinado, com solução única.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A tripla (2, 1, 0) satisfaz a primeira equação, mas falha na segunda: 2 + 2(1) − 0 = 4, e o termo independente é 0. Para ser solução, a tripla deve satisfazer todas as equações simultaneamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A tripla (1, 3/2, 1) não satisfaz a primeira equação: 2(1) − 3(3/2) + 1 = 2 − 4,5 + 1 = −1,5, que é diferente de 1. O erro está no valor de y.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A tripla (1, 1, 3) falha na primeira equação: 2(1) − 3(1) + 3 = 2, que é diferente de 1. O valor de z está incorreto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A tripla (1/4, 1, 2) não satisfaz a primeira equação: 2(1/4) − 3(1) + 2 = 0,5 − 3 + 2 = −0,5, que é diferente de 1. O valor de x está incorreto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A tripla (1, 2, 5) satisfaz as três equações:

• 2(1) − 3(2) + 5 = 1

• 1 + 2(2) − 5 = 0

• 4(1) + 2 − 5 = 1

Portanto, é a solução única do sistema.

Gabarito: letra E