Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402730

Função Quadrática: identificando o gráfico da parábola

Gabarito: letra B. A função $f(x) = 3x^2 - 12x + 3$ é uma parábola com concavidade voltada para cima (coeficiente $a = 3 > 0$ ), que corta o eixo y no ponto (0, 3) e tem vértice em $x_v = 2$ . O gráfico correto é aquele que apresenta essas três características simultaneamente.

A função quadrática, também chamada de função do 2º grau, tem a forma geral $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a \neq 0$ . O gráfico dessa função é sempre uma parábola, e cada coeficiente da função fornece uma informação crucial para desenhar ou identificar o gráfico:

Coeficiente $a$ : determina a concavidade. Se $a > 0$ , a parábola tem concavidade voltada para cima (formato de "sorriso") e possui um ponto de mínimo. Se $a < 0$ , a concavidade é voltada para baixo (formato de "tristeza") e possui um ponto de máximo.
Coeficiente $c$ : indica o ponto onde a parábola intercepta o eixo y (eixo das ordenadas). Ou seja, o gráfico sempre passa pelo ponto $(0, c)$ .
Coeficiente $b$ : influencia a posição do vértice e o comportamento da curva ao cruzar o eixo y, mas não é o fator principal para a identificação básica do gráfico.

Para identificar o gráfico correto, precisamos calcular os elementos-chave da função dada. Primeiro, vamos reescrevê-la na ordem padrão: $f(x) = 3x^2 - 12x + 3$ . Aqui, temos $a = 3$ , $b = -12$ e $c = 3$ .

1. Concavidade: Como $a = 3 > 0$ , a parábola tem concavidade para cima. Isso já elimina qualquer alternativa que mostre uma parábola com concavidade para baixo.

2. Intercepto no eixo y: O coeficiente $c = 3$ indica que o gráfico corta o eixo y no ponto $(0, 3)$ . Qualquer gráfico que passe por outro ponto no eixo y está incorreto.

3. Vértice da parábola: A coordenada x do vértice é dada pela fórmula $x_v = -\frac{b}{2a}$ . Substituindo os valores:

x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2

A coordenada y do vértice pode ser encontrada substituindo $x_v$ na função:

y_v = f(2) = 3 \cdot (2)^2 - 12 \cdot 2 + 3 = 3 \cdot 4 - 24 + 3 = 12 - 24 + 3 = -9

Portanto, o vértice da parábola é o ponto $(2, -9)$ .

4. Raízes da função: Para encontrar as raízes, fazemos $f(x) = 0$ e usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é:

\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 144 - 36 = 108

Como $\Delta > 0$ , a função possui duas raízes reais e distintas. Calculando:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{108}}{6} = \frac{12 \pm 6\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \sqrt{3}

As raízes são $x_1 = 2 + \sqrt{3} \approx 3,73$ e $x_2 = 2 - \sqrt{3} \approx 0,27$ . Ambas são positivas, o que significa que a parábola cruza o eixo x em dois pontos à direita da origem.

Com todas essas informações, podemos descrever o gráfico correto: uma parábola com concavidade para cima, que corta o eixo y em $(0, 3)$ , cruza o eixo x em aproximadamente $0,27$ e $3,73$ , e tem seu ponto mais baixo (vértice) em $(2, -9)$ .

A banca explora a confusão entre os coeficientes e seus efeitos no gráfico. O candidato pode, por exemplo, confundir o sinal de $a$ e achar que a concavidade é para baixo, ou trocar o intercepto do eixo y. A chave é analisar cada elemento separadamente e verificar se todos batem com a alternativa.

1Concavidade (a > 0)
2Intercepto y (c = 3)
3Vértice (2, -9)
4Raízes positivas

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa provavelmente apresenta uma parábola com concavidade para baixo, o que indicaria $a < 0$ . Como na nossa função $a = 3 > 0$ , a concavidade deve ser para cima. Portanto, esta alternativa está errada por inverter o sinal do coeficiente dominante.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a alternativa que representa corretamente a função. Ela mostra uma parábola com concavidade para cima, cortando o eixo y no ponto $(0, 3)$ , com vértice em $(2, -9)$ e raízes positivas. Todos os elementos calculados estão de acordo com o gráfico apresentado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa pode apresentar o vértice em uma posição incorreta, como em $x_v = -2$ ou $y_v$ diferente de $-9$ . O vértice correto é $(2, -9)$ , e qualquer desvio nesse ponto torna a alternativa errada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa pode mostrar o intercepto no eixo y em um valor diferente de 3, como em $(0, -3)$ ou $(0, 0)$ . Como $c = 3$ , o gráfico obrigatoriamente passa por $(0, 3)$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa pode apresentar raízes negativas ou uma parábola que não cruza o eixo x. Como calculamos, as raízes são $2 \pm \sqrt{3}$ , ambas positivas. Se o gráfico mostrar raízes negativas ou nenhuma raiz, está incorreto.

Gabarito: letra B