Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402732

MatemáticaFunção Exponencial e Inequações Exponenciais

Código: ce402732
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: PETROBRAS
Ano: 2024

Cargo: PPNT ( )

A 200 km da costa do estado do Rio de Janeiro está localizada a plataforma P-71, que atingiu em novembro de 2021 o topo de extração de óleo do pré-sal: 150 mil barris por dia. A plataforma pode estocar até 1,6 milhão de barris de óleo. A comunicação entre a plataforma e os navios próximos é feita via rádio, cujo transmissor tem alcance máximo de 63 km. A potência do sinal de rádio, P, decai com a distância d, em quilômetros, de acordo com a função P(d) = P_0 \cdot 2^{-d/9}, sendo P_0 a potência de transmissão. Além disso, um robô submarino que auxilia a plataforma experimenta, quando está dentro da água, uma pressão p, em atmosferas, dada pela equação p(h)=k\cdot h+1, na qual k é uma constante e h é a profundidade do robô, em metros. Com base nas informações precedentes, julgue o item que se segue. Para uma distância de 31,5 km da plataforma, a potência de um sinal transmitido a partir da plataforma será igual a \frac{P_0}{2}.

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EErrado

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GabaritoE — Errado

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Função Exponencial: decaimento da potência do sinal

Gabarito: letra E (ERRADO). Para d = 31,5 km, a potência do sinal é $P(31{,}5) = P_0 \cdot 2^{-31{,}5/9} = P_0 \cdot 2^{-3{,}5}$ , que é igual a $\frac{P_0}{2^{3{,}5}}$ , e não $\frac{P_0}{2}$ . O erro está em confundir o expoente $-3{,}5$ com $-1$ : a potência só seria $\frac{P_0}{2}$ se o expoente fosse $-1$ , o que ocorreria apenas para d = 9 km.

A função exponencial é uma função real definida pela lei $f(x) = a^x$ , em que $a$ é um número real tal que $0 < a \neq 1$ . No caso da questão, temos $P(d) = P_0 \cdot 2^{-d/9}$ , uma função do tipo exponencial com base 2 (maior que 1), mas com expoente negativo proporcional à distância. Isso faz com que a potência decaia conforme a distância aumenta — é um modelo clássico de decaimento exponencial, muito usado em física e engenharia para descrever a atenuação de sinais.

Para resolver o item, basta substituir o valor de d na função e comparar com o valor proposto. Vejamos o passo a passo:

Substituir d = 31,5 km na função: $P(31{,}5) = P_0 \cdot 2^{-31{,}5/9}$ .
Calcular o expoente: $31{,}5 / 9 = 3{,}5$ . Portanto, $P(31{,}5) = P_0 \cdot 2^{-3{,}5}$ .
Reescrever o expoente negativo: $2^{-3{,}5} = \frac{1}{2^{3{,}5}}$ . Logo, $P(31{,}5) = \frac{P_0}{2^{3{,}5}}$ .
Comparar com $\frac{P_0}{2}$ : para que fossem iguais, precisaríamos de $2^{3{,}5} = 2$ , o que é falso, pois $2^{3{,}5} = 2^3 \cdot 2^{0{,}5} = 8 \cdot \sqrt{2} \approx 11{,}31$ .

Portanto, a potência em 31,5 km é aproximadamente $\frac{P_0}{11{,}31}$ , bem menor que $\frac{P_0}{2}$ . O item está errado.

A pegadinha da banca está em induzir o candidato a pensar que, como 31,5 é um múltiplo de 9 (31,5 = 3,5 × 9), o expoente seria um número inteiro. Na verdade, o expoente é 3,5, que não é inteiro, e a potência resultante não é uma fração simples como $\frac{1}{2}$ . O candidato que calcula mentalmente e "arredonda" o expoente para 3 ou 4 pode errar. A dica é: sempre calcule o expoente exato e compare com o valor proposto, sem pular etapas.

d (km)	Expoente (−d/9)	P(d) = P₀·2^(−d/9)	Comparação com P₀/2	Resultado
9	−1	P₀/2	Igual	Caso em que a afirmação seria verdadeira
31,5	−3,5	P₀/2^3,5 ≈ P₀/11,31	Menor que P₀/2	Afirmação falsa
63	−7	P₀/2^7 = P₀/128	Muito menor que P₀/2	Afirmação falsa

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que, para d = 31,5 km, a potência será $\frac{P_0}{2}$ . Isso está incorreto. O cálculo correto é:

$P(31{,}5) = P_0 \cdot 2^{-31{,}5/9} = P_0 \cdot 2^{-3{,}5} = \frac{P_0}{2^{3{,}5}} \approx \frac{P_0}{11{,}31}$ .

O valor $\frac{P_0}{2}$ só ocorreria se o expoente fosse $-1$ , ou seja, se $d/9 = 1$ , o que daria d = 9 km. Como 31,5 km é maior que 9 km, a potência é menor que $\frac{P_0}{2}$ . A banca explora a confusão entre o expoente $-3{,}5$ e o expoente $-1$ , levando o candidato a pensar que a potência cai pela metade a cada 9 km, o que é verdade, mas a distância de 31,5 km corresponde a 3,5 vezes esse intervalo, não a 1 vez.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — CESPE / CEBRASPE 2024

Função Exponencial: decaimento da potência do sinal

Item — ❌ ERRADO