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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
ce402735
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
PETROBRAS
Ano
2024
Cargo
PPNT ( )
Um helicóptero que transporta passageiros entre o continente e as plataformas de petróleo realiza apenas um voo  pela manhã e um pela tarde, sendo capaz de transportar cinco passageiros, além dos pilotos. Esse tipo de aeronave é bastante confiável e segura, mas produz bastante barulho. A rotação das hélices de um helicóptero pode gerar ruídos sonoros com intensidade de 120 dB. A intensidade de ruídos sonoros, \beta, em decibéis, é calculada por meio da fórmula \beta=10\cdot log_{10}(I/I_0), na qual I é a intensidade sonora e u_0 = 10^{12}w/m^2 é uma intensidade de referência próxima ao limiar da audição humana.   A partir dessas informações e considerando que haja cinco homens e cinco mulheres aguardando o transporte do continente a uma plataforma de petróleo, julgue o próximo item.   A quantidade de maneiras distintas de se escolherem aleatoriamente cinco passageiros a serem transportados no helicóptero de tal modo que três deles sejam mulheres é igual a 10.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Análise Combinatória: combinação simples

Gabarito: letra E (ERRADO). A quantidade de maneiras de escolher 5 passageiros, sendo exatamente 3 mulheres, é 100, e não 10. O cálculo envolve escolher 3 mulheres entre 5 (C(5,3) = 10) e 2 homens entre 5 (C(5,2) = 10), multiplicando os resultados: 10 × 10 = 100.

O problema pede uma contagem de grupos onde a ordem dos escolhidos não importa — afinal, escolher as passageiras Ana, Bia e Cia é o mesmo que escolher Cia, Bia e Ana. Quando a ordem não importa, usamos combinação simples, não arranjo ou permutação. A fórmula da combinação de n elementos tomados p a p é:

C(n,p)=n!p!(n−p)!C(n,p) = \frac{n!}{p!(n-p)!}

No caso, temos 5 mulheres e precisamos escolher 3. Isso dá:

C(5,3)=5!3!(5−3)!=5!3!2!=5×4×3!3!×2×1=202=10C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10

Analogamente, temos 5 homens e precisamos escolher 2 (para completar os 5 passageiros):

C(5,2)=5!2!(5−2)!=5!2!3!=5×4×3!2×1×3!=202=10C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{20}{2} = 10

Como as escolhas das mulheres e dos homens são etapas independentes (conectivo "e"), aplicamos o princípio multiplicativo: multiplicamos as possibilidades de cada etapa.

10×10=10010 \times 10 = 100

Portanto, há 100 maneiras distintas de formar o grupo com exatamente 3 mulheres e 2 homens. O valor 10, citado no item, corresponde apenas ao número de maneiras de escolher as 3 mulheres (ou os 2 homens), ignorando a outra etapa da contagem.

A pegadinha da banca está em apresentar um número que é resultado de uma das etapas isoladas, levando o candidato a esquecer de multiplicar pelas escolhas dos homens. Para evitar esse erro, sempre identifique todas as etapas do problema e verifique se a ordem importa antes de aplicar qualquer fórmula.

Etapa

Cálculo

Resultado

Escolher 3 mulheres entre 5

C(5,3) = 5!/(3!·2!)

10

Escolher 2 homens entre 5

C(5,2) = 5!/(2!·3!)

10

Total (princípio multiplicativo)

10 × 10

100

Valor citado no item

—

10

Conclusão

100 ≠ 10

Item ERRADO

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que a quantidade de maneiras é igual a 10. Isso está incorreto, pois o cálculo completo envolve duas etapas: escolher 3 mulheres entre 5 (C(5,3) = 10) e escolher 2 homens entre 5 (C(5,2) = 10). Pelo princípio multiplicativo, o total é 10 × 10 = 100, e não 10. O valor 10 representa apenas uma das etapas, não o total de combinações possíveis.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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