Questão de Matemática — Logaritmo — CESPE / CEBRASPE 2024

Logaritmos e a escala decibel: resolvendo a questão do helicóptero

Gabarito: letra C (Certo). A intensidade sonora do helicóptero (120 dB) é 100.000 vezes maior que a do limite seguro de 70 dB, pois cada aumento de 10 dB corresponde a uma intensidade 10 vezes maior — e a diferença de 50 dB entre os dois níveis equivale a $10^5 = 100.000$ vezes. A resolução usa diretamente a fórmula fornecida no enunciado, $\beta = 10 \cdot \log_{10}(I/I_0)$, que é a definição do nível sonoro em decibéis.

A questão cobra a aplicação prática da função logarítmica, especificamente a definição de decibel. O decibel é uma unidade logarítmica que compara a intensidade de um som com um valor de referência. A fórmula $\beta = 10 \cdot \log_{10}(I/I_0)$ nos diz que o nível em decibéis é dez vezes o logaritmo decimal da razão entre a intensidade do som e a intensidade de referência. O ponto central é entender que, como o logaritmo é uma função que "comprime" grandes variações, uma pequena diferença em decibéis representa uma grande diferença na intensidade real.

Para resolver, precisamos encontrar a razão entre as intensidades $I_{120}$ (do helicóptero) e $I_{70}$ (do limite seguro). Aplicando a fórmula para cada nível:

• Para 120 dB: $120 = 10 \cdot \log_{10}(I_{120}/I_0)$, então $\log_{10}(I_{120}/I_0) = 12$, logo $I_{120}/I_0 = 10^{12}$.

• Para 70 dB: $70 = 10 \cdot \log_{10}(I_{70}/I_0)$, então $\log_{10}(I_{70}/I_0) = 7$, logo $I_{70}/I_0 = 10^{7}$.

A razão entre as intensidades é $I_{120}/I_{70} = 10^{12}/10^{7} = 10^{5} = 100.000$. Portanto, a afirmação está correta.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é o candidato tentar comparar os decibéis diretamente (120/70 ≈ 1,7 vezes) ou subtrair (120 − 70 = 50) e achar que é 50 vezes. Isso está errado porque a escala decibel é logarítmica, não linear. A diferença de 50 dB significa que a intensidade é multiplicada por $10^5$, não por 50. Guarde a regra: cada aumento de 10 dB multiplica a intensidade por 10.

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO

A afirmação é verdadeira. Como demonstrado, a intensidade sonora do helicóptero é $10^{12} \times I_0$ e a do limite seguro é $10^{7} \times I_0$. A razão entre elas é $10^{12}/10^{7} = 10^{5} = 100.000$. A fórmula fornecida no enunciado é a base do cálculo, e a propriedade dos logaritmos (logaritmo da potência) é aplicada corretamente para isolar a razão das intensidades.

Gabarito: letra C (Certo).