Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — CESPE / CEBRASPE 2024

Funções trigonométricas: modelando uma onda sonora

Gabarito: letra C (CERTO). A função $S(t) = S_0 \cdot \text{sen}(80\pi t)$ modela corretamente uma onda sonora de frequência 40 Hz, pois a frequência angular $\omega$ é dada por $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 40 = 80\pi$ rad/s, exatamente o coeficiente que multiplica o tempo $t$ na função seno. A relação entre frequência e frequência angular é o núcleo da questão.

Uma onda sonora é uma oscilação periódica que se propaga no ar, e a função seno é a ferramenta matemática padrão para descrever essa oscilação. A forma geral de uma onda senoidal é $S(t) = S_0 \cdot \text{sen}(\omega t + \varphi)$, onde $S_0$ é a amplitude (o valor máximo da oscilação), $\omega$ é a frequência angular (medida em radianos por segundo), $t$ é o tempo e $\varphi$ é a fase inicial (que aqui é zero, pois não há termo constante somado ao argumento do seno).

A frequência angular $\omega$ está diretamente ligada à frequência $f$ (medida em hertz, que significa ciclos por segundo) pela relação $\omega = 2\pi f$. Essa relação vem do fato de que um ciclo completo da onda corresponde a um ângulo de $2\pi$ radianos. Portanto, se a frequência é de 40 Hz, a frequência angular é $\omega = 2\pi \cdot 40 = 80\pi$ rad/s. Substituindo na forma geral, obtemos $S(t) = S_0 \cdot \text{sen}(80\pi t)$, que é exatamente a função apresentada no enunciado.

Para fixar o conceito, vejamos um exemplo: se a frequência fosse de 60 Hz, a frequência angular seria $\omega = 2\pi \cdot 60 = 120\pi$ rad/s, e a função seria $S(t) = S_0 \cdot \text{sen}(120\pi t)$. Perceba que o número que multiplica $\pi$ é sempre o dobro da frequência. Essa é a relação que a banca explora: ela fornece a frequência e espera que o candidato saiba convertê-la para a frequência angular.

A pegadinha desta questão está em confundir frequência ($f$) com frequência angular ($\omega$). Se o candidato simplesmente substituísse a frequência diretamente no argumento do seno, escreveria $S(t) = S_0 \cdot \text{sen}(40\pi t)$, o que estaria errado. O correto é sempre multiplicar a frequência por $2\pi$ para obter a frequência angular. Guarde essa distinção: é exatamente nela que a questão se decide.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A função $S(t) = S_0 \cdot \text{sen}(80\pi t)$ modela uma onda senoidal com frequência angular $\omega = 80\pi$ rad/s. Como a frequência angular se relaciona com a frequência por $\omega = 2\pi f$, temos $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{80\pi}{2\pi} = 40$ Hz. Portanto, a função apresentada corresponde exatamente a uma onda sonora de 40 Hz, com amplitude $S_0$ e fase inicial nula.

Gabarito: letra C (CERTO).