Questão de Matemática — Matrizes — CESPE / CEBRASPE 2024

Matriz inversa: cálculo e verificação

Gabarito: letra E (ERRADO). A inversa da matriz $C = \begin{bmatrix} 415 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ não é $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix}$. Pela fórmula da inversa de uma matriz 2x2, $C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$, com $\det(C) = 415 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 413$, o que resulta em $C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{413} & -\frac{2}{413} \\ -\frac{1}{413} & \frac{415}{413} \end{bmatrix}$ — cada elemento da matriz proposta está incorreto, pois falta a divisão pelo determinante.

A matriz inversa é um conceito central em álgebra linear. Dada uma matriz quadrada $A$, sua inversa $A^{-1}$ é a matriz que, multiplicada por $A$, resulta na matriz identidade: $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$. Nem toda matriz possui inversa — ela existe apenas quando o determinante é diferente de zero (matriz invertível ou não singular). Para uma matriz 2x2 genérica $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, a inversa é calculada pela fórmula:

onde $\det(A) = ad - bc$. O fator $\frac{1}{\det(A)}$ é o que "normaliza" a matriz adjunta (a matriz dos cofatores transposta). É exatamente esse fator que a questão omitiu — a matriz apresentada é apenas a matriz adjunta de $C$, sem a divisão pelo determinante.

Vamos aplicar a fórmula ao caso concreto. A matriz dos coeficientes é $C = \begin{bmatrix} 415 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$. Primeiro, calculamos o determinante:

Como $\det(C) \neq 0$, a matriz é invertível. Agora, montamos a matriz adjunta trocando os elementos da diagonal principal ($a \leftrightarrow d$) e invertendo o sinal dos elementos da diagonal secundária ($b$ e $c$):

Essa é exatamente a matriz que a questão apresentou como resposta. Porém, a inversa exige a divisão de cada elemento pelo determinante:

Portanto, a matriz proposta $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix}$ é a matriz adjunta (ou cofatora) de $C$, não a sua inversa. A pegadinha da banca está em apresentar a adjunta como se fosse a inversa, omitindo o fator $\frac{1}{\det(C)}$.

Uma forma de verificar rapidamente se uma matriz é a inversa de outra é multiplicá-las: o resultado deve ser a matriz identidade. Se multiplicarmos $C$ pela matriz proposta, obtemos:

O resultado é $413 \cdot I$, não $I$. Isso confirma que a matriz proposta é $413 \cdot C^{-1}$, ou seja, a adjunta. Para ser a inversa, o produto deveria ser exatamente a identidade.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que $C^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix}$ está incorreta. O erro é a omissão do fator $\frac{1}{\det(C)}$. Calculando corretamente:

• $\det(C) = 415 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 413$

• $C^{-1} = \frac{1}{413} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{413} & -\frac{2}{413} \\ -\frac{1}{413} & \frac{415}{413} \end{bmatrix}$

A matriz apresentada é a adjunta de $C$, não a inversa. A verificação por multiplicação confirma: $C \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix} = 413 \cdot I$, e não $I$.

Gabarito: letra E (ERRADO).