Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2024

Função quadrática: altura máxima da bola

Gabarito: letra E (Errado). A altura máxima da bola é de exatamente 3 m, portanto NÃO é superior a 4 m. Isso se obtém calculando o vértice da parábola $h(d) = -\frac{1}{12}d^2 + d$, cuja coordenada $y$ (a altura máxima) é dada por $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$, com $a = -\frac{1}{12}$ e $b = 1$.

A função que descreve a altura da bola é uma função quadrática da forma $h(d) = ad^2 + bd + c$, com $a = -\frac{1}{12}$, $b = 1$ e $c = 0$. Como o coeficiente $a$ é negativo, a parábola tem concavidade voltada para baixo, o que significa que a função possui um ponto de máximo — exatamente o vértice da parábola. Esse vértice representa a altura máxima que a bola atinge.

Para encontrar a altura máxima, precisamos calcular a coordenada $y$ do vértice. A fórmula é:

onde $\Delta = b^2 - 4ac$ é o discriminante da equação. Vamos calcular passo a passo:

1. Calcular o discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{12}\right) \cdot 0 = 1 - 0 = 1$

2. Substituir na fórmula do vértice: $y_v = -\frac{1}{4 \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)} = -\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 3$

Portanto, a altura máxima é de 3 metros. Como 3 m < 4 m, a afirmação de que a altura máxima é superior a 4 m está errada.

Uma forma alternativa de resolver é encontrar a coordenada $d$ do vértice ($d_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1/12)} = 6$) e substituir na função: $h(6) = -\frac{1}{12} \cdot 6^2 + 6 = -3 + 6 = 3$. O resultado é o mesmo.

Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO

A afirmação de que a altura máxima é superior a 4 m está errada. O cálculo correto mostra que a altura máxima é de exatamente 3 m, como demonstrado acima. O erro do candidato que marca "Certo" geralmente vem de:

• Calcular apenas a coordenada $d$ do vértice (6 m) e confundir com a altura.

• Errar o sinal na fórmula $y_v = -\frac{\Delta}{4a}$, obtendo um valor negativo ou incorreto.

• Não considerar que $c = 0$, o que simplifica o cálculo do discriminante.

A altura máxima é o valor máximo da função, que ocorre no vértice da parábola. Como $a < 0$, o vértice é um ponto de máximo, e seu valor é 3 m, que é menor que 4 m.

Gabarito: letra E (Errado).