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Questão de Matemática — Comprimento da Circunferência e do Arco de Circunferência — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaComprimento da Circunferência e do Arco de Circunferência
Código
ce402748
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
PETROBRAS
Ano
2024
Cargo
PPNT ( )
Com base na figura precedente, em que é apresentada uma circunferência de raio 20, julgue o item que se segue.   Se o arco BD tiver medida \frac{25}{3}\pi, então a medida do ângulo \theta será superior a 70°.Imagem associada para resolução da questão
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Comprimento de arco e ângulo central

Gabarito: letra C (CERTO). Se o arco BD mede 25π3\frac{25\pi}{3} numa circunferência de raio 20, o ângulo central correspondente é de 75°, que é superior a 70°. A relação é direta: o comprimento do arco é proporcional ao ângulo central, e a constante de proporcionalidade é o raio.

O comprimento de um arco de circunferência é a medida da "fatia" da linha circular compreendida entre dois pontos. Quando o ângulo central (aquele com vértice no centro da circunferência) é medido em radianos, a fórmula fica extremamente simples: o comprimento do arco é o produto do raio pelo ângulo central em radianos. Isso porque o radiano foi definido exatamente para isso: é o ângulo que "enxerga" um arco de comprimento igual ao raio. Assim, se o raio é 20 e o arco mede 25π3\frac{25\pi}{3}, o ângulo central em radianos é θ=arcoraio=25π/320=25π60=5π12\theta = \frac{\text{arco}}{\text{raio}} = \frac{25\pi/3}{20} = \frac{25\pi}{60} = \frac{5\pi}{12} rad.

Para comparar com 70°, precisamos converter radianos para graus. A conversão usa a equivalência fundamental: π\pi radianos equivalem a 180°. Portanto, 5π12\frac{5\pi}{12} rad equivale a 512×180°=75°\frac{5}{12} \times 180° = 75°. Como 75° > 70°, a afirmação está correta.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é o candidato esquecer de converter o ângulo para radianos antes de aplicar a fórmula, ou errar a conversão. Outra armadilha é confundir o ângulo central com o ângulo inscrito (aquele com vértice na circunferência), que mede a metade do arco. Aqui, o ângulo θ\theta é o ângulo central, pois seus lados são raios da circunferência (OA e OB).

Guarde a relação fundamental: comprimento do arco = raio × ângulo central (em radianos). É essa fórmula que resolve a questão e que será o critério para julgar a afirmação.

Caso

Atribuição

Resultado

1

( \ell = \frac{25\pi}{3} ), ( R = 20 )

( \theta = \frac{\ell}{R} = \frac{5\pi}{12} ) rad

2

( \theta = \frac{5\pi}{12} ) rad

( \theta = 75° )

3

( \theta = 75° )

( 75° > 70° ) → Afirmação Verdadeira

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação é verdadeira. Vamos ao cálculo passo a passo:

  1. Dados: raio R=20R = 20 e comprimento do arco ℓ=25π3\ell = \frac{25\pi}{3}.

  2. Fórmula: ℓ=R⋅θ\ell = R \cdot \theta, onde θ\theta é o ângulo central em radianos.

  3. Substituindo: 25π3=20⋅θ⇒θ=25π3⋅20=25π60=5π12\frac{25\pi}{3} = 20 \cdot \theta \Rightarrow \theta = \frac{25\pi}{3 \cdot 20} = \frac{25\pi}{60} = \frac{5\pi}{12} rad.

  4. Convertendo para graus: como π\pi rad = 180°, temos θ=512⋅180°=75°\theta = \frac{5}{12} \cdot 180° = 75°.

  5. Comparando: 75°>70°75° > 70°, logo a medida do ângulo é superior a 70°.

Portanto, o item está CERTO.

PEGA ESSA DICA!

Quando o comprimento do arco for dado em função de π\pi (como 25π3\frac{25\pi}{3}), a conversão para graus fica mais rápida se você já substituir π\pi por 180° no final. Neste caso: θ=25⋅180°3⋅20=25⋅180°60=25⋅3°=75°\theta = \frac{25 \cdot 180°}{3 \cdot 20} = \frac{25 \cdot 180°}{60} = 25 \cdot 3° = 75°. Isso evita o passo intermediário com radianos e agiliza a resolução na prova.

Gabarito: letra C (CERTO).

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