Questão de Matemática — Comprimento da Circunferência e do Arco de Circunferência — CESPE / CEBRASPE 2024

Comprimento de arco e cosseno no círculo trigonométrico

Gabarito: letra C (CERTO). O comprimento do arco é dado por $\ell = \alpha \cdot r$, com $\alpha$ em radianos. Com $r = 20$ e $\ell = \frac{481}{6}\pi$, obtemos $\alpha = \frac{481\pi}{120}$ rad. Reduzindo esse ângulo ao primeiro quadrante, encontramos $\alpha \equiv \frac{\pi}{120}$ rad (ou $1,5°$), cujo cosseno é aproximadamente $0,9997$, que é maior que $0,6$. Portanto, a afirmação está correta.

O comprimento de um arco de circunferência é diretamente proporcional ao ângulo central que o determina. A fórmula que relaciona essas grandezas é $\ell = \alpha \cdot r$, onde $\ell$ é o comprimento do arco, $\alpha$ é a medida do ângulo central em radianos e $r$ é o raio da circunferência. Essa relação é uma das mais importantes da geometria plana, pois conecta a medida linear (comprimento) com a medida angular (radianos).

No problema, temos o raio $r = 20$ e o comprimento do arco $\ell = \frac{481}{6}\pi$. Para encontrar o ângulo $\alpha$, basta isolar a variável na fórmula:

Esse ângulo é muito maior que $2\pi$ (uma volta completa), o que significa que o arco dá várias voltas na circunferência. Para calcular o cosseno, precisamos reduzir o ângulo ao seu equivalente no primeiro ciclo (entre $0$ e $2\pi$). Isso é feito encontrando o resto da divisão de $\frac{481\pi}{120}$ por $2\pi$.

Vamos calcular quantas voltas completas o arco dá. Uma volta completa corresponde a $2\pi = \frac{240\pi}{120}$. Dividindo $\frac{481\pi}{120}$ por $\frac{240\pi}{120}$, obtemos:

Isso significa que o arco dá 2 voltas completas e mais $\frac{1}{240}$ de volta. O ângulo equivalente no primeiro ciclo é, portanto:

Convertendo para graus: $\frac{\pi}{120} \text{ rad} = \frac{180°}{120} = 1,5°$. Esse é um ângulo muito pequeno, localizado no primeiro quadrante do círculo trigonométrico.

O cosseno de um ângulo no primeiro quadrante é positivo e, para ângulos muito pequenos, o cosseno se aproxima de 1. De fato, $\cos(1,5°) \approx 0,9997$. Como $0,9997 > 0,6$, a afirmação de que $\cos(\alpha) > 0,6$ é verdadeira.

A pegadinha desta questão está em não reduzir o ângulo ao primeiro ciclo. O candidato pode calcular $\alpha = \frac{481\pi}{120}$ e tentar calcular o cosseno diretamente, sem perceber que esse ângulo é enorme e que o cosseno é periódico. A redução ao primeiro quadrante é essencial para resolver o problema.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

O item está correto. O comprimento do arco é $\ell = \alpha \cdot r$, com $\alpha$ em radianos. Com $r = 20$ e $\ell = \frac{481}{6}\pi$, temos:

Reduzindo ao primeiro ciclo: $\frac{481\pi}{120} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{120}$. Portanto, $\alpha \equiv \frac{\pi}{120}$ rad $= 1,5°$. O cosseno de $1,5°$ é aproximadamente $0,9997$, que é maior que $0,6$. Logo, a afirmação é verdadeira.

Gabarito: letra C (CERTO)