Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2024

Função do segundo grau: máximo e mínimo

Gabarito: letra E (Errado). A função $V(T)=\frac{T^2-12T+95}{5}$ é uma parábola com concavidade voltada para cima (coeficiente $a = \frac{1}{5} > 0$), portanto possui apenas um ponto de mínimo, não de máximo. O vértice ocorre em $T_v = 6$, ou seja, na sexta hora, e não na décima primeira. A afirmação está incorreta.

A questão cobra a análise do ponto extremo de uma função quadrática. Toda função do segundo grau da forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ tem seu gráfico como uma parábola. O sinal do coeficiente $a$ determina a concavidade: se $a > 0$, a parábola abre para cima e o vértice é o ponto de mínimo; se $a < 0$, abre para baixo e o vértice é o ponto de máximo. O vértice é dado por $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = f(x_v)$.

No caso, temos $a = \frac{1}{5}$, $b = -\frac{12}{5}$ e $c = \frac{95}{5} = 19$. Como $a > 0$, a função tem valor mínimo, não máximo. Calculando a abscissa do vértice:

Portanto, o valor mínimo ocorre em $T = 6$, que corresponde à sexta hora do período. A décima primeira hora ($T = 11$) está distante do vértice, e o valor da função nesse ponto é maior que o mínimo, mas não é o máximo — na verdade, como a parábola abre para cima, os valores crescem à medida que nos afastamos do vértice, e o máximo no intervalo $[1,13]$ ocorreria em um dos extremos, não em $T=11$. Vamos verificar:

• $V(1) = \frac{1 - 12 + 95}{5} = \frac{84}{5} = 16,8$

• $V(13) = \frac{169 - 156 + 95}{5} = \frac{108}{5} = 21,6$

• $V(11) = \frac{121 - 132 + 95}{5} = \frac{84}{5} = 16,8$

O valor máximo no intervalo é $21,6$ mil litros, ocorrendo em $T = 13$ (décima terceira hora), e não na décima primeira. A afirmação está duplamente errada: não há máximo no interior da parábola (apenas mínimo), e o valor máximo do intervalo ocorre em outro ponto.

A pegadinha clássica aqui é o candidato confundir o vértice com o ponto de máximo sem verificar a concavidade. Como o coeficiente $a$ é positivo, o vértice é mínimo. Além disso, mesmo que a questão perguntasse sobre o máximo no intervalo, a resposta seria $T=13$, não $T=11$. É essencial sempre verificar o sinal de $a$ antes de classificar o vértice.

Item — ❌ Errado

A afirmação de que o valor máximo ocorre na décima primeira hora é falsa. A função tem concavidade para cima ($a = \frac{1}{5} > 0$), logo possui apenas mínimo, no vértice $T_v = 6$. O máximo no intervalo $[1,13]$ ocorre em $T = 13$, com $V(13) = 21,6$ mil litros. Na décima primeira hora, $V(11) = 16,8$ mil litros, que não é nem o máximo nem o mínimo do intervalo.

Gabarito: letra E (Errado).