Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2024

Função do segundo grau: raízes e o papel do coeficiente k

Gabarito: letra C (CERTO). A função $f(x) = k \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$ está na forma fatorada, que já entrega as raízes diretamente: $x = 2$ e $x = -3$. Como $k$ é um número real não nulo, ele apenas multiplica a expressão e não altera os pontos onde $f(x) = 0$ — portanto, para qualquer valor de $k$, a função terá exatamente duas raízes reais e distintas.

A forma fatorada de uma função quadrática é uma das representações mais poderosas para identificar raízes sem calcular Bhaskara. Ela vem da fatoração do trinômio $ax^2 + bx + c$ em $a(x - x_1)(x - x_2)$, onde $x_1$ e $x_2$ são as raízes da equação. No caso da questão, a função já está escrita nesse formato: $f(x) = k \cdot (x - 2) \cdot (x + 3)$. Para encontrar as raízes, basta igualar a função a zero e aplicar a propriedade do produto nulo: se um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero. Assim, temos $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ e $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

O coeficiente $k$ (que na forma geral $ax^2 + bx + c$ é o coeficiente $a$) tem duas funções principais: ele determina a concavidade da parábola (se $k > 0$, concavidade para cima; se $k < 0$, para baixo) e o alongamento/achatamento do gráfico (quanto maior o módulo de $k$, mais "fechada" a parábola). Mas ele não desloca as raízes — multiplicar a função por uma constante não muda os valores de $x$ que a anulam. Por isso, a condição do enunciado de que $k$ é não nulo é crucial: se $k = 0$, a função seria identicamente nula, e o conceito de "raízes" perderia o sentido (todo número real seria raiz).

Vamos verificar com um exemplo concreto. Se $k = 1$, temos $f(x) = (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$, cujas raízes são $2$ e $-3$. Se $k = -5$, temos $f(x) = -5(x - 2)(x + 3) = -5x^2 - 5x + 30$, e as raízes continuam sendo $2$ e $-3$ — basta substituir: $f(2) = -5 \cdot 0 \cdot 5 = 0$ e $f(-3) = -5 \cdot (-5) \cdot 0 = 0$. O valor de $k$ apenas "esticou" a parábola e inverteu sua concavidade, mas os pontos de interseção com o eixo $x$ permaneceram intactos.

A pegadinha que a banca explora aqui é justamente a confusão entre o coeficiente $a$ (que controla concavidade e abertura) e as raízes (que dependem apenas dos fatores $(x - x_1)$ e $(x - x_2)$). Muitos candidatos, ao verem um parâmetro multiplicando a expressão, imaginam que ele pode alterar as raízes — o que é falso. A distinção que importa é: o coeficiente multiplicativo não muda as raízes; ele só muda o formato do gráfico. É exatamente esse critério que decide a questão: como $k$ é não nulo, as duas raízes $2$ e $-3$ são sempre reais e distintas, independentemente do valor de $k$.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A função está na forma fatorada $f(x) = k(x - 2)(x + 3)$, o que permite identificar imediatamente as raízes: $x_1 = 2$ e $x_2 = -3$. Como $k$ é um número real não nulo, ele não interfere na equação $f(x) = 0$ — dividir ambos os lados por $k$ (permitido, pois $k \neq 0$) resulta em $(x - 2)(x + 3) = 0$, cujas soluções são exatamente $x = 2$ e $x = -3$. Essas raízes são reais e distintas (uma é positiva, outra negativa), e isso vale para qualquer valor de $k$ não nulo. O discriminante da forma expandida também confirma: expandindo, $f(x) = kx^2 + kx - 6k$, temos $\Delta = k^2 - 4 \cdot k \cdot (-6k) = k^2 + 24k^2 = 25k^2$, que é sempre positivo para $k \neq 0$, garantindo duas raízes reais e distintas.

Gabarito: letra C (CERTO).