GabaritoE — Errado
Gabarito: letra E (ERRADO). As raízes de f(x) = k·(x − 2)·(x + 3) são x = 2 e x = −3, independentemente do valor de k (desde que k ≠ 0). O valor de k apenas multiplica a função, não altera os pontos em que ela se anula. Portanto, mesmo que k seja um número par, as raízes continuam sendo 2 e −3 — e −3 não é um número par. A afirmação é falsa.
A função dada está na forma fatorada da função quadrática: f(x) = a·(x − x₁)·(x − x₂), em que x₁ e x₂ são as raízes da equação f(x) = 0. Nessa forma, o coeficiente a (aqui chamado de k) é o mesmo coeficiente que aparece na forma geral ax² + bx + c. Para encontrar as raízes, basta igualar a função a zero:
k·(x − 2)·(x + 3) = 0
Como k é um número real não nulo, podemos dividir ambos os lados por k, obtendo:
(x − 2)·(x + 3) = 0
Para que o produto de dois fatores seja zero, pelo menos um deles deve ser zero. Assim:
x − 2 = 0 → x = 2 x + 3 = 0 → x = −3
Portanto, as raízes são 2 e −3, e elas não dependem do valor de k. O coeficiente k influencia a "abertura" da parábola (se k > 0, concavidade para cima; se k < 0, para baixo) e a escala vertical do gráfico, mas não desloca os pontos de interseção com o eixo x.
A pegadinha da questão está em associar a paridade de k à paridade das raízes. O candidato pode ser tentado a pensar que, se k é par, as raízes também seriam pares. No entanto, não há nenhuma relação entre a paridade do coeficiente multiplicador e a paridade das raízes. As raízes são determinadas exclusivamente pelos fatores (x − 2) e (x + 3), que já fixam os valores 2 e −3.
Para ilustrar, vamos testar com um valor concreto. Se k = 2 (par), a função fica f(x) = 2·(x − 2)·(x + 3). As raízes continuam sendo 2 e −3, pois:
2·(x − 2)·(x + 3) = 0 → (x − 2)·(x + 3) = 0 → x = 2 ou x = −3
O mesmo ocorreria com k = 4, k = 6, ou qualquer outro valor par. As raízes permanecem inalteradas. A única condição para que a função seja do segundo grau é que k ≠ 0, conforme o enunciado.
A distinção importante aqui é entre coeficiente multiplicador e raízes da função. O coeficiente k multiplica o produto dos fatores, mas não altera os valores que anulam o produto. Isso é uma propriedade fundamental da forma fatorada: as raízes são os valores que tornam cada fator igual a zero, e o coeficiente a apenas "escala" a função verticalmente.
Guarde este critério: para encontrar as raízes de uma função na forma fatorada, basta igualar cada fator a zero, ignorando o coeficiente multiplicador (desde que não seja zero). É exatamente essa a chave para resolver a questão.
Caso | k (par) | Raízes de f(x) | Resultado |
|---|---|---|---|
k = 2 | Par | 2 e −3 | Contradição (raiz −3 não é par) |
k = 4 | Par | 2 e −3 | Contradição (raiz −3 não é par) |
k = 6 | Par | 2 e −3 | Contradição (raiz −3 não é par) |
A afirmação está errada. As raízes de f(x) = k·(x − 2)·(x + 3) são x = 2 e x = −3, independentemente do valor de k. Mesmo que k seja um número par, as raízes continuam sendo 2 e −3. O número −3 não é par, portanto a afirmação "as raízes também serão números pares" é falsa. O erro está em supor que a paridade do coeficiente k influencia a paridade das raízes, o que não ocorre. As raízes são determinadas exclusivamente pelos fatores (x − 2) e (x + 3).
Gabarito: letra E (ERRADO).
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