Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2024

Função do segundo grau: vértice da parábola

Gabarito: letra C (CERTO). Para a função $f(x) = k(x-2)(x+3)$, o vértice tem coordenadas $V = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{25k}{4}\right)$, pois a abscissa do vértice é a média das raízes $x_v = \dfrac{2 + (-3)}{2} = -\dfrac{1}{2}$ e a ordenada é $y_v = f(x_v) = k\left(-\dfrac{1}{2}-2\right)\left(-\dfrac{1}{2}+3\right) = -\dfrac{25k}{4}$.

A função do segundo grau, também chamada função quadrática, é toda função da forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a \neq 0$. Seu gráfico é uma parábola, cuja concavidade é voltada para cima quando $a > 0$ e para baixo quando $a < 0$. O vértice é o ponto de máximo (concavidade para baixo) ou de mínimo (concavidade para cima) da função, e suas coordenadas podem ser obtidas de duas formas principais: pela fórmula $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ e $y_v = -\dfrac{\Delta}{4a}$, onde $\Delta = b^2 - 4ac$, ou, quando a função está na forma fatorada $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$, pela média aritmética das raízes $x_v = \dfrac{r_1 + r_2}{2}$ e depois calculando $y_v = f(x_v)$.

No caso da questão, a função já está apresentada na forma fatorada: $f(x) = k(x - 2)(x + 3)$. As raízes são os valores que zeram cada fator: $x = 2$ e $x = -3$. A abscissa do vértice é a média dessas raízes, pois a parábola é simétrica em relação ao eixo que passa pelo vértice. Assim, $x_v = \dfrac{2 + (-3)}{2} = -\dfrac{1}{2}$. Para encontrar a ordenada, basta substituir $x_v$ na função: $y_v = f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = k\left(-\dfrac{1}{2} - 2\right)\left(-\dfrac{1}{2} + 3\right) = k\left(-\dfrac{5}{2}\right)\left(\dfrac{5}{2}\right) = -\dfrac{25k}{4}$. Portanto, o vértice é exatamente o ponto indicado no enunciado.

A banca explora aqui a forma fatorada da função, que já entrega as raízes de imediato. O candidato que tenta expandir a função para a forma geral $ax^2 + bx + c$ e aplicar a fórmula $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ também chega ao mesmo resultado, mas com mais trabalho. A forma fatorada é um atalho poderoso: a abscissa do vértice é sempre a média das raízes, e a ordenada é o valor da função nesse ponto. Essa propriedade vale para qualquer função quadrática com raízes reais.

Alternativa C — ✅ Correto ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. As raízes da função são $x = 2$ e $x = -3$. A abscissa do vértice é a média das raízes: $x_v = \dfrac{2 + (-3)}{2} = -\dfrac{1}{2}$. A ordenada é obtida substituindo $x_v$ na função: $y_v = f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = k\left(-\dfrac{1}{2} - 2\right)\left(-\dfrac{1}{2} + 3\right) = k\left(-\dfrac{5}{2}\right)\left(\dfrac{5}{2}\right) = -\dfrac{25k}{4}$. Portanto, as coordenadas do vértice são $V = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{25k}{4}\right)$, exatamente como afirma o item.

Gabarito: letra C (CERTO).