Questão de Matemática — Função Logarítmica e Inequações Logarítmicas — CESPE / CEBRASPE 2024

Função logarítmica: crescimento e a condição da base

Gabarito: letra E (ERRADO). A função $f(x) = \log_b x$ é crescente apenas quando a base $b$ é maior que 1; para $0 < b < 1$, a função é decrescente. A afirmação do enunciado generaliza incorretamente, pois diz que a função será crescente para todo $b > 0$ e $b \neq 1$, ignorando o intervalo $0 < b < 1$.

A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Assim como a exponencial $g(x) = b^x$ é crescente para $b > 1$ e decrescente para $0 < b < 1$, a logarítmica $f(x) = \log_b x$ segue o mesmo padrão. Isso ocorre porque a inversa de uma função crescente também é crescente, e a inversa de uma função decrescente também é decrescente. O gráfico da função logarítmica é simétrico ao da exponencial em relação à reta $y = x$.

A condição de existência do logaritmo exige que a base seja positiva e diferente de 1 ($b > 0$ e $b \neq 1$) e que o logaritmando seja positivo ($x > 0$). Dentro desse domínio, a base pode assumir dois intervalos distintos, que determinam o comportamento da função:

• $b > 1$: a função é crescente. Se $x_1 > x_2$, então $\log_b x_1 > \log_b x_2$.

• $0 < b < 1$: a função é decrescente. Se $x_1 > x_2$, então $\log_b x_1 < \log_b x_2$.

Um exemplo prático: considere $f(x) = \log_2 x$ (base 2, maior que 1). Temos $f(4) = 2$ e $f(8) = 3$, ou seja, quando $x$ aumenta, $f(x)$ também aumenta — função crescente. Agora, considere $g(x) = \log_{1/2} x$ (base 1/2, entre 0 e 1). Temos $g(4) = -2$ e $g(8) = -3$; quando $x$ aumenta, $g(x)$ diminui — função decrescente. Isso mostra que a base $b = 1/2$ (que satisfaz $b > 0$ e $b \neq 1$) torna a função decrescente, contrariando a afirmação do enunciado.

A pegadinha da questão está em afirmar que a função é crescente para todo $b > 0$ e $b \neq 1$. O candidato pode se lembrar da condição de existência, mas esquecer de dividir o intervalo da base em dois casos. A banca explora exatamente essa generalização indevida: a condição $b > 0$ e $b \neq 1$ é necessária para a função existir, mas não é suficiente para garantir que ela seja crescente.

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

A afirmação está errada porque generaliza o comportamento da função para todo $b > 0$ e $b \neq 1$. A função $f(x) = \log_b x$ é crescente somente quando $b > 1$. Para $0 < b < 1$, a função é decrescente. O enunciado ignora esse segundo intervalo, tornando a afirmação falsa. O erro específico é a ausência da restrição $b > 1$ para o crescimento.

Gabarito: letra E (ERRADO).