GabaritoC — Certo
Gabarito: letra C (CERTO). Para que a tripla ordenada (1, 0, 1) seja solução do sistema, ela deve satisfazer todas as equações simultaneamente. Substituindo x = 1, y = 0 e z = 1 na terceira equação, obtemos k = 2, o que confirma a afirmação.
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que devem ser consideradas em conjunto. Uma solução do sistema é uma atribuição de valores às incógnitas que torna todas as equações verdadeiras ao mesmo tempo. No caso, temos três equações e três incógnitas (x, y, z), e a questão pede para verificar se a tripla (1, 0, 1) é uma solução particular.
O método mais direto é a substituição: inserimos os valores propostos em cada equação e verificamos se a igualdade é satisfeita. Se a tripla for solução, ela deve funcionar em todas as equações. Vamos testar:
1ª equação: 2(1) − 0 + 1 = 2 + 1 = 3 ✅
2ª equação: 3(1) + 0 − 2(1) = 3 − 2 = 1 ✅
3ª equação: −(1) − 2(0) + 3(1) = −1 + 3 = 2
Para que a terceira equação seja satisfeita, precisamos que o termo independente k seja exatamente igual ao resultado obtido, ou seja, k = 2. Como o enunciado afirma que k = 2, a tripla (1, 0, 1) é, de fato, uma solução particular do sistema.
A pegadinha aqui é sutil: o candidato pode se perder tentando resolver o sistema inteiro (por escalonamento ou regra de Cramer) quando a questão pede apenas a verificação de uma solução proposta. A banca explora exatamente essa confusão — não é preciso resolver o sistema, apenas testar a tripla. O critério decisivo é: substituir os valores em todas as equações e conferir se todas as igualdades são verdadeiras.
Equação | Substituição (x=1, y=0, z=1) | Resultado | Condição para ser solução |
|---|---|---|---|
1ª | 2(1) − 0 + 1 | 3 | 3 = 3 ✅ (V) |
2ª | 3(1) + 0 − 2(1) | 1 | 1 = 1 ✅ (V) |
3ª | −(1) − 2(0) + 3(1) | 2 | 2 = k → k = 2 ✅ (V) |
A afirmação está correta. Substituindo x = 1, y = 0 e z = 1 nas três equações:
2(1) − 0 + 1 = 3 (verdadeiro)
3(1) + 0 − 2(1) = 1 (verdadeiro)
−(1) − 2(0) + 3(1) = 2 (verdadeiro, pois k = 2)
Como todas as equações são satisfeitas, a tripla (1, 0, 1) é solução do sistema quando k = 2.
A banca tenta induzir o candidato a resolver o sistema por completo, quando basta testar a solução proposta. Lembre-se: para verificar se uma tripla é solução, substitua os valores em todas as equações — se qualquer uma falhar, a tripla não é solução.
Gabarito: letra C (CERTO).
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