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Questão de Matemática — Números Complexos — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaNúmeros Complexos
Código
ce402769
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Pref Cach Itapemirim
Ano
2024
Cargo
PEB ( )
Considerando o número complexo z = \sqrt{3} + i em que i representa a unidade imaginária que satisfaz a condição i2 = -1 julgue o item subsequente.   A parte real do número { \large 1 \over z} é igual a { \large \sqrt{3} \over 3}.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Números complexos: inverso e parte real

Gabarito: letra E (ERRADO). A parte real de 1z\frac{1}{z}, com z=3+iz = \sqrt{3} + i, é 34\frac{\sqrt{3}}{4}, e não 33\frac{\sqrt{3}}{3}. O erro está na racionalização: ao multiplicar pelo conjugado, o denominador vira ∣z∣2=4|z|^2 = 4, e não 3.

O problema pede para calcular o inverso de um número complexo e identificar sua parte real. Para isso, usamos o conjugado do número. O conjugado de z=a+biz = a + bi é zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi. A técnica é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado, eliminando a parte imaginária do denominador. Isso funciona porque o produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real: z⋅zˉ=a2+b2=∣z∣2z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2.

Aplicando ao caso: z=3+iz = \sqrt{3} + i, então zˉ=3−i\bar{z} = \sqrt{3} - i. Calculamos:

1z=13+i⋅3−i3−i=3−i(3)2+12=3−i3+1=3−i4=34−14i\frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{3} + i} \cdot \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i} = \frac{\sqrt{3} - i}{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{3} - i}{3 + 1} = \frac{\sqrt{3} - i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4}i

Portanto, a parte real de 1z\frac{1}{z} é 34\frac{\sqrt{3}}{4}. A afirmação do enunciado, que diz ser 33\frac{\sqrt{3}}{3}, está incorreta. O erro provavelmente vem de uma racionalização mal feita, onde o candidato esquece que i2=−1i^2 = -1 e calcula o denominador como 3+1=43 + 1 = 4, mas depois simplifica incorretamente, ou confunde o denominador com o módulo ao quadrado de outra forma.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa na racionalização. O candidato pode calcular 13+i\frac{1}{\sqrt{3}+i} e, ao invés de multiplicar pelo conjugado, tentar "racionalizar" apenas com 3\sqrt{3}, obtendo 33\frac{\sqrt{3}}{3} como parte real. Lembre-se: o denominador correto é ∣z∣2=(3)2+12=4|z|^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4.

  1. 1Conjugado: √3 − i
  2. 2Multiplicar numerador e denominador
  3. 3Denominador: |z|² = 4
  4. 4Parte real: √3/4
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Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO

A afirmação está errada. O cálculo correto mostra que a parte real de 1z\frac{1}{z} é 34\frac{\sqrt{3}}{4}, e não 33\frac{\sqrt{3}}{3}. O erro está na racionalização: o denominador deve ser ∣z∣2=4|z|^2 = 4, e não 3.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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