Questão de Matemática — Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular — CESPE / CEBRASPE 2024

Área de semicírculos em um retângulo: cobertura das câmeras

Gabarito: letra D. Cada câmera cobre um semicírculo de diâmetro 40 m, ou seja, raio 20 m. A área de cada semicírculo é $\frac{\pi \cdot 20^2}{2} = 200\pi$ m². Com quatro câmeras, a área total coberta é $4 \times 200\pi = 800\pi$ m², que é aproximadamente $800 \times 3,14 = 2512$ m² — superior a 2.400 m². As demais alternativas erram ao calcular a área não coberta, afirmar cobertura total ou supor que o centro é captado por todas as câmeras.

O problema envolve o cálculo da área de um semicírculo, que é exatamente a metade da área de um círculo completo. A área do círculo é dada por $A = \pi r^2$, onde $r$ é o raio. Como o diâmetro de cada campo de visão é 40 m, o raio é $r = 20$ m. Portanto, a área de um semicírculo é $\frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi \cdot 20^2}{2} = \frac{400\pi}{2} = 200\pi$ m².

Com quatro câmeras idênticas, a área total coberta é $4 \times 200\pi = 800\pi$ m². Usando a aproximação $\pi \approx 3,14$, temos $800 \times 3,14 = 2512$ m². Esse valor é claramente superior a 2.400 m², o que torna a alternativa D correta.

A área total do depósito é $80 \times 60 = 4800$ m². Como a área coberta é de aproximadamente 2512 m², a área não coberta seria $4800 - 2512 = 2288$ m², que não corresponde à expressão da alternativa A. Além disso, como a área coberta é menor que a área total, as câmeras não cobrem todo o depósito, eliminando as alternativas B e C.

Para a alternativa E, é preciso analisar a posição do centro do depósito em relação aos campos de visão. Cada câmera está no centro de uma parede e seu campo de visão é um semicírculo que se projeta para dentro do depósito. O centro do retângulo está a 40 m de distância das paredes de 80 m (metade do comprimento) e a 30 m das paredes de 60 m (metade da largura). O raio de cada semicírculo é 20 m, então o centro do depósito está a uma distância maior que 20 m de qualquer câmera. Portanto, o centro não está dentro do alcance de nenhuma câmera, e a alternativa E está incorreta.

A pegadinha desta questão está em confundir o diâmetro com o raio ao calcular a área do semicírculo. Se o aluno usar o diâmetro (40 m) como raio, a área de cada semicírculo seria $\frac{\pi \cdot 40^2}{2} = 800\pi$ m², e a área total coberta seria $4 \times 800\pi = 3200\pi$ m², o que levaria a conclusões erradas sobre as alternativas B e C. É fundamental lembrar que o raio é a metade do diâmetro.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A área não coberta não é $(4800 - 160\pi)$ m². A área total do depósito é $80 \times 60 = 4800$ m². A área coberta por cada câmera é $200\pi$ m², e a área total coberta é $800\pi$ m². Portanto, a área não coberta seria $4800 - 800\pi$ m², e não $4800 - 160\pi$ m². O erro está em usar $160\pi$ como área coberta, que seria o resultado se cada semicírculo tivesse área $40\pi$ m², o que não é o caso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

As quatro câmeras não são capazes de cobrir toda a área do depósito. A área total coberta é $800\pi \approx 2512$ m², enquanto a área do depósito é 4800 m². Como a área coberta é menor que a área total, há regiões do depósito que não são cobertas pelas câmeras.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O campo de alcance das câmeras não é capaz de cobrir toda a área do depósito. Pelo mesmo cálculo da alternativa B, a área coberta é de aproximadamente 2512 m², inferior à área total de 4800 m². Portanto, há partes do depósito fora do alcance das câmeras.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A área total que as câmeras cobrem é superior a 2.400 m². Cada câmera cobre um semicírculo de raio 20 m, cuja área é $\frac{\pi \cdot 20^2}{2} = 200\pi$ m². Com quatro câmeras, a área total coberta é $4 \times 200\pi = 800\pi$ m². Como $\pi \approx 3,14$, temos $800 \times 3,14 = 2512$ m², que é superior a 2.400 m².

Alternativa E — ❌ Incorreta

A imagem de uma pessoa no centro do depósito não será captada pelas quatro câmeras. O centro do retângulo está a 40 m das paredes de 80 m e a 30 m das paredes de 60 m. Cada câmera tem alcance de 20 m (raio do semicírculo). Como a distância do centro a qualquer câmera é maior que 20 m, o centro está fora do campo de visão de todas as câmeras.

Gabarito: letra D