Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — CESPE / CEBRASPE 2024

Operações com conjuntos: interseção e diferença em diagramas de Venn

Gabarito: letra C (CERTO). O subconjunto destacado na figura II corresponde exatamente à expressão $(C \cap B) - A$, pois a figura II mostra a região que pertence simultaneamente a C e B, mas que não pertence a A. Essa é a definição de diferença entre conjuntos aplicada à interseção: primeiro identifica-se a interseção $C \cap B$ e, em seguida, retiram-se os elementos que também estão em A.

Para entender por que a afirmação está correta, é preciso dominar duas operações básicas da teoria dos conjuntos: a interseção e a diferença. A interseção de dois conjuntos, denotada por $X \cap Y$, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a X e a Y. Já a diferença, denotada por $X - Y$ (ou $X \setminus Y$), é o conjunto dos elementos que pertencem a X, mas não pertencem a Y. Quando combinamos essas operações em uma expressão como $(C \cap B) - A$, a ordem de execução é determinada pelos parênteses: primeiro calculamos $C \cap B$ (a região comum a C e B) e, depois, subtraímos A, ou seja, eliminamos dessa região tudo o que também pertence a A.

Vamos aplicar isso ao diagrama de Venn da questão. A figura I apresenta o conjunto universo U e três subconjuntos A, B e C, que se intersectam de diversas formas. A figura II destaca uma região específica: aquela que está dentro de C e dentro de B, mas fora de A. Essa é precisamente a região que satisfaz a condição "estar em C e em B, mas não em A". A expressão $(C \cap B) - A$ descreve exatamente essa região: primeiro tomamos a interseção de C com B (a área comum aos dois círculos) e, em seguida, removemos a parte que também pertence a A. O resultado é a região destacada na figura II.

Para fixar, considere um exemplo numérico simples. Suponha que $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 3, 4\}$ e $C = \{3, 4, 5\}$. A interseção $C \cap B = \{3, 4\}$. Subtraindo A, temos $(C \cap B) - A = \{3, 4\} - \{1, 2\} = \{3, 4\}$, pois nenhum elemento de A está em $\{3, 4\}$. Agora, se A fosse $\{3\}$, teríamos $(C \cap B) - A = \{4\}$. No diagrama, a região destacada na figura II é exatamente aquela que contém os elementos que estão em C e B, mas não em A — o que corresponde à expressão dada.

A pegadinha que a banca explora nesse tipo de questão é a ordem das operações e a interpretação visual do diagrama. Muitos candidatos confundem a expressão $(C \cap B) - A$ com $C \cap (B - A)$ ou com $(C - A) \cap B$, que são conjuntos diferentes. Por exemplo, $C \cap (B - A)$ representa os elementos que estão em C e em B, mas que não estão em A — na verdade, essa expressão é equivalente à original, pois a interseção é associativa e a diferença pode ser distribuída. No entanto, a forma mais comum de erro é inverter a ordem: calcular $A - (C \cap B)$, que daria a região de A que não está na interseção de C e B, algo totalmente diferente. Outra confusão frequente é achar que a figura II destaca a interseção $C \cap B$ sem excluir A, o que incluiria também a região que pertence a A.

Guarde o critério decisivo: para verificar se uma expressão descreve corretamente uma região do diagrama, traduza a expressão em palavras — "elementos que estão em C e em B, mas não em A" — e compare com a região destacada. Se a descrição bate, a expressão está correta. É exatamente esse raciocínio que separa o certo do errado nesta questão.

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A figura II destaca a região que pertence a C e a B, mas não a A. A expressão $(C \cap B) - A$ representa exatamente isso: primeiro a interseção de C com B (elementos comuns aos dois) e, em seguida, a diferença com A (remoção dos elementos que também estão em A). Portanto, a descrição é fiel ao que está destacado.

Gabarito: letra C (CERTO).