Análise Combinatória: distribuição de conselheiros em funções
Gabarito: letra C (CERTO). A afirmação está correta: existem 18 × 120 = 2.160 maneiras distintas de distribuir os sete conselheiros entre as sete funções, respeitando a restrição de que a presidência deve ser ocupada por um dos três conselheiros C2, C4 ou C5. O raciocínio combina o princípio fundamental da contagem (escolha da presidência) com a permutação dos seis conselheiros restantes nas seis funções remanescentes (6! = 720), resultando em 3 × 720 = 2.160 = 18 × 120.
O problema envolve a distribuição de elementos distintos (os conselheiros) em posições distintas (as funções), onde a ordem importa. Como cada conselheiro ocupa exatamente uma função e cada função é ocupada por exatamente um conselheiro, trata-se de uma permutação simples. A restrição imposta — a presidência deve ser ocupada por um dos três conselheiros específicos — reduz as possibilidades iniciais.
Vamos decompor o problema em etapas. Primeiro, escolhemos quem ocupará a presidência: há 3 opções (C2, C4 ou C5). Depois, para as seis funções restantes (vice-presidente, corregedor, ouvidor, diretor da escola de contas, presidente da 1ª câmara e presidente da 2ª câmara), temos os seis conselheiros que sobraram. O número de maneiras de distribuí-los é a permutação de 6 elementos: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
Pelo princípio multiplicativo, o total de distribuições é o produto das escolhas de cada etapa: 3 × 720 = 2.160. A questão afirma que esse total é 18 × 120. Calculando: 18 × 120 = 2.160. Portanto, a igualdade é verdadeira.
A pegadinha aqui é não confundir a escolha da presidência com uma combinação. Como as funções são distintas, a ordem importa, e a escolha de quem ocupa cada função é um arranjo/permutação, não uma combinação. Além disso, é preciso lembrar que, após fixar o presidente, os demais conselheiros podem ser distribuídos de todas as formas possíveis entre as funções restantes.
Etapa | Escolha | Nº de possibilidades |
|---|
1 | Presidente (C2, C4 ou C5) | 3 |
2 | Distribuir os 6 conselheiros restantes nas 6 funções restantes (6!) | 720 |
Total | 3 × 720 | 2.160 |
Verificação | 18 × 120 | 2.160 |
Conclusão | Igualdade verdadeira | CERTO |
Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO
A afirmação está correta. O cálculo é:
Escolha do presidente: 3 possibilidades (C2, C4 ou C5).
Distribuição dos 6 conselheiros restantes nas 6 funções restantes: 6! = 720 possibilidades.
Total: 3 × 720 = 2.160.
A questão apresenta esse total como 18 × 120. Como 18 × 120 = 2.160, a igualdade é verdadeira.
Gabarito: letra C (CERTO).