Questão de Matemática — Números Inteiros (Propriedades, Operações, Módulo, etc) — CESPE / CEBRASPE 2024

Poder de compra e números inteiros

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que, se $i$ e $r$ forem números inteiros, o poder de compra também será um número inteiro é falsa. O poder de compra é dado por $100 \times \frac{(1+r)}{(1+i)}$, e essa expressão pode resultar em um número não inteiro mesmo quando $i$ e $r$ são inteiros. Por exemplo, se $i = 2$ e $r = 1$, o poder de compra será $100 \times \frac{2}{3} = 66,66...$, que não é um número inteiro.

O conceito central aqui é a diferença entre números inteiros e números racionais. O conjunto dos números inteiros ($\mathbb{Z}$) é formado por todos os números naturais, seus opostos e o zero: $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$. Já o conjunto dos números racionais ($\mathbb{Q}$) é formado por todos os números que podem ser expressos como uma fração de inteiros, com denominador diferente de zero: $\mathbb{Q} = \{x \mid x = \frac{p}{q}, p \wedge q \in \mathbb{Z} \wedge q \neq 0\}$. A operação de divisão entre dois números inteiros não é fechada no conjunto dos inteiros — ou seja, o quociente de dois inteiros pode ser um número racional não inteiro, como $\frac{2}{3}$.

A fórmula do poder de compra quando o dinheiro é aplicado é $100 \times \frac{(1+r)}{(1+i)}$. Para que o resultado seja um número inteiro, é necessário que $(1+i)$ divida exatamente $100 \times (1+r)$. Isso não é garantido apenas pelo fato de $i$ e $r$ serem inteiros. Por exemplo, com $i = 2$ e $r = 1$, temos $100 \times \frac{2}{3} = 66,66...$, que não é inteiro. Outro exemplo: com $i = 3$ e $r = 2$, temos $100 \times \frac{3}{4} = 75$, que é inteiro. Portanto, a condição de $i$ e $r$ serem inteiros não é suficiente para garantir que o poder de compra seja inteiro.

A pegadinha da banca está em induzir o candidato a pensar que, como $i$ e $r$ são inteiros, a expressão $\frac{(1+r)}{(1+i)}$ também será inteira. No entanto, a divisão de dois inteiros não é necessariamente um inteiro. O candidato pode cair no erro de achar que a operação de divisão é fechada no conjunto dos inteiros, o que não é verdade. A propriedade do fechamento vale para a adição e a multiplicação de inteiros, mas não para a divisão.

Guarde a distinção entre as operações fechadas e não fechadas no conjunto dos inteiros: adição, subtração e multiplicação são fechadas, mas a divisão não é. É exatamente nessa fronteira que a questão se decide.

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

A afirmação está errada. O poder de compra, dado por $100 \times \frac{(1+r)}{(1+i)}$, não é necessariamente um número inteiro quando $i$ e $r$ são inteiros. A divisão de dois números inteiros pode resultar em um número racional não inteiro. Por exemplo, com $i = 2$ e $r = 1$, o poder de compra é $100 \times \frac{2}{3} = 66,66...$, que não é inteiro. A condição de $i$ e $r$ serem inteiros não é suficiente para garantir a integralidade do resultado.

Gabarito: letra E (ERRADO).