Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — CESPE / CEBRASPE 2024

Divisão proporcional aplicada à distribuição de água

Gabarito: letra D. O volume destinado a Campina Grande é $\frac{4}{13}V$. Isso decorre da divisão proporcional: as populações de João Pessoa, Campina Grande e Patos estão na razão $2x : x : \frac{x}{4}$, que, multiplicada por 4, vira $8x : 4x : x$ — somando $13x$. Como o volume é proporcional à população, Campina Grande recebe $\frac{4x}{13x} = \frac{4}{13}$ do total $V$.

A questão mistura dois conceitos que precisam ser separados com clareza: razão e proporção e divisão proporcional. Razão é a comparação entre duas grandezas por divisão; proporção é a igualdade entre duas razões. Quando o enunciado diz que o volume é "proporcional à população", ele está dizendo que existe uma constante $k$ tal que cada volume dividido pela respectiva população é sempre o mesmo número: $\frac{V_{JP}}{P_{JP}} = \frac{V_{CG}}{P_{CG}} = \frac{V_P}{P_P} = k$. Essa é a essência da divisão proporcional: repartir um total em partes que mantenham a mesma razão entre si.

O primeiro passo é traduzir as relações de população em uma única incógnita. Se a população de Campina Grande é $x$, então a de João Pessoa é o dobro, $2x$ (pois Campina é metade de João Pessoa). Já a população de Patos é "4 vezes menor" que a de Campina Grande — expressão que, em linguagem matemática de concurso, significa $\frac{x}{4}$. Aqui mora a primeira armadilha: "4 vezes menor" não é $x - 4$ nem $4x$; é a fração $\frac{x}{4}$.

Com as populações em mãos, aplicamos a propriedade fundamental da soma das proporções. Se $\frac{V_{JP}}{2x} = \frac{V_{CG}}{x} = \frac{V_P}{x/4} = k$, então cada razão também é igual à razão entre a soma dos volumes e a soma das populações: $\frac{V_{JP} + V_{CG} + V_P}{2x + x + x/4} = \frac{V}{13x/4}$. Para facilitar, multiplicamos todas as populações por 4, obtendo $8x$, $4x$ e $x$, cuja soma é $13x$. Assim, $\frac{V_{CG}}{4x} = \frac{V}{13x}$, e isolando $V_{CG}$ chegamos a $V_{CG} = \frac{4}{13}V$.

A pegadinha clássica da banca está em "4 vezes menor": o candidato apressado interpreta como $4x$ (quatro vezes maior) ou como $x - 4$, e com isso monta uma proporção errada. Outra armadilha é esquecer de somar as populações no denominador ao usar a propriedade da soma — sem o total $13x$, não há como encontrar a fração correta. Guarde o método: escreva tudo em função de uma incógnita, some os coeficientes e aplique a propriedade fundamental. É exatamente esse raciocínio que separa as alternativas abaixo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{4}V$. Esse valor corresponderia a Campina Grande receber um quarto do total, o que só faria sentido se as três populações fossem iguais (cada uma com $\frac{1}{3}$) ou se a razão fosse outra. Aqui, a fração $\frac{1}{4}$ é justamente a população de Patos em relação à de Campina Grande ($\frac{x/4}{x}$), não o volume de Campina. O candidato que confunde a relação entre populações com a fração do volume total cai nessa alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Traz $\frac{8}{13}V$. Esse número seria o volume de João Pessoa, não o de Campina Grande. Como a população de João Pessoa é $2x$ e a soma é $13x$ (após multiplicar por 4), sua fração é $\frac{8x}{13x} = \frac{8}{13}$. A banca troca os papéis: quem calcula corretamente a fração de João Pessoa, mas responde pensando em Campina, marca esta letra. É a pegadinha de inverter os sujeitos da proporção.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Indica $\frac{1}{13}V$. Essa fração corresponderia à população de Patos, que é $\frac{x}{4}$; multiplicando por 4 para igualar o denominador, temos $\frac{x}{13x} = \frac{1}{13}$. O candidato que confunde Patos com Campina Grande — ou que esquece de multiplicar a população de Campina por 4 ao montar a proporção — chega a esse valor. É o distrator que explora o erro de não padronizar as frações antes de somar.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O volume de Campina Grande é $\frac{4}{13}V$. A população de Campina é $x$; a de João Pessoa, $2x$; a de Patos, $\frac{x}{4}$. Multiplicando tudo por 4 para eliminar a fração, as populações ficam $8x$, $4x$ e $x$, somando $13x$. Pela divisão proporcional, $V_{CG} = \frac{4x}{13x} \cdot V = \frac{4}{13}V$. A alternativa espelha exatamente a razão entre a população de Campina e o total.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{2}V$. Esse valor seria o volume se Campina Grande recebesse metade do total — o que ocorreria se sua população fosse igual à soma das outras duas. Mas aqui a população de Campina ($x$) é menor que a de João Pessoa ($2x$), então sua fração do volume não pode ser $\frac{1}{2}$. O candidato que lê "metade da população de João Pessoa" e transfere essa metade diretamente para o volume, sem considerar Patos, cai nessa alternativa.

A regra de ouro para questões de divisão proporcional: escreva todas as partes em função de uma única incógnita, some os coeficientes e aplique a propriedade fundamental da soma. Com as populações $2x$, $x$ e $\frac{x}{4}$ — ou $8x$, $4x$ e $x$ após multiplicar por 4 — o total é $13x$, e Campina Grande, com $4x$, recebe $\frac{4}{13}$ do volume total.

Gabarito: letra D