Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — CESPE / CEBRASPE 2024

Concavidade e ponto de inflexão de uma função polinomial

Gabarito: letra C (CERTO). A mudança de concavidade do gráfico de uma função ocorre nos pontos de inflexão, que são as raízes da segunda derivada com mudança de sinal. Para $F(t) = \frac{-1}{50}\left(\frac{t^3}{3} - 12t^2 + 63t\right) + 22$, a segunda derivada é $F''(t) = \frac{-2t + 24}{50}$, que se anula em $t = 12$. Como $F''(t)$ muda de sinal em torno de $t=12$ (positiva para $t<12$ e negativa para $t>12$), o ponto $t=12$ é um ponto de inflexão, confirmando a mudança de concavidade.

A concavidade de uma função descreve a "curvatura" do seu gráfico. Quando a concavidade é voltada para cima (formato de tigela), a função cresce a uma taxa cada vez maior; quando é voltada para baixo (formato de montanha), a função cresce a uma taxa cada vez menor (ou decresce cada vez mais rápido). Matematicamente, a concavidade é determinada pelo sinal da segunda derivada $F''(t)$: se $F''(t) > 0$, a concavidade é para cima; se $F''(t) < 0$, a concavidade é para baixo.

O ponto onde a concavidade muda é chamado de ponto de inflexão. Para encontrá-lo, calculamos a segunda derivada e igualamos a zero. No entanto, é crucial verificar se a segunda derivada realmente muda de sinal nesse ponto — se ela apenas tocar o zero sem mudar de sinal, não há inflexão. Vamos calcular:

Primeiro, a derivada primeira:

Depois, a derivada segunda:

Igualando a zero:

Agora, testamos o sinal de $F''(t)$ em torno de $t=12$. Para $t < 12$ (por exemplo, $t=0$), temos $F''(0) = \frac{24}{50} > 0$ (concavidade para cima). Para $t > 12$ (por exemplo, $t=24$), temos $F''(24) = \frac{-48 + 24}{50} = \frac{-24}{50} < 0$ (concavidade para baixo). Como o sinal muda, $t=12$ é um ponto de inflexão, e houve mudança de concavidade nesse instante.

A pegadinha desta questão é que muitos candidatos podem calcular a segunda derivada, encontrar $t=12$, mas esquecer de verificar a mudança de sinal. Se a segunda derivada fosse, por exemplo, $F''(t) = (t-12)^2$, o ponto $t=12$ anularia a derivada, mas não haveria mudança de concavidade (a função teria concavidade para cima em ambos os lados). Aqui, a mudança de sinal é clara, confirmando a inflexão.

Alternativa C — ✅ Correto ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Calculamos $F''(t) = \frac{-2t + 24}{50}$, que se anula em $t=12$. Verificamos que $F''(t) > 0$ para $t < 12$ e $F''(t) < 0$ para $t > 12$, caracterizando uma mudança de concavidade (de côncava para cima para côncava para baixo). Portanto, $t=12$ é um ponto de inflexão, e houve mudança de concavidade no instante indicado.

Gabarito: letra C