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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
ce402797
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Cargo
ERSPT ( )
O modelo matemático a seguir revela o número F de usuários conectados a um provedor de Internet, a cada instante t, em horas, por um período de 24 horas. Nesse modelo,  t\,\in\,[ 0,24) e F(t) e é dado em milhares.F(t)=−150(t33−12t2+63t)+22F(t)= \frac{-1}{50} \left( \frac{t^3}{3} -12t^2 + 63t \right) + 22 A partir dessas informações, julgue o item seguinte.   O menor número de usuários conectados ao provedor de Internet, durante o período de 24 horas, ocorreu em algum momento entre 4 h e 5 h.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função polinomial do 3º grau: otimização e pontos críticos

Gabarito: letra E (ERRADO). O menor número de usuários conectados não ocorre entre 4 h e 5 h. Derivando a função F(t)=−150(t33−12t2+63t)+22F(t) = -\frac{1}{50}\left(\frac{t^3}{3} - 12t^2 + 63t\right) + 22, obtemos F′(t)=−150(t2−24t+63)F'(t) = -\frac{1}{50}(t^2 - 24t + 63). Igualando a zero, encontramos os pontos críticos t=3t = 3 e t=21t = 21. Analisando o sinal da derivada, concluímos que t=3t = 3 é um ponto de mínimo local e t=21t = 21 é um ponto de máximo local. Portanto, o menor número de usuários ocorre em t=3t = 3 horas, e não entre 4 h e 5 h.

A questão envolve encontrar o valor mínimo de uma função contínua em um intervalo fechado. O Teorema de Weierstrass garante que essa função atinge seu valor mínimo em algum ponto do intervalo [0,24)[0, 24). Para encontrá-lo, precisamos analisar os pontos críticos (onde a derivada se anula ou não existe) e os extremos do intervalo.

A derivada da função é:

F′(t)=−150(t2−24t+63)F'(t) = -\frac{1}{50}(t^2 - 24t + 63)

Igualando a zero, temos:

t2−24t+63=0t^2 - 24t + 63 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos as raízes t=3t = 3 e t=21t = 21. Esses são os pontos críticos da função.

Para determinar se são pontos de máximo ou mínimo, analisamos o sinal da derivada segunda:

F′′(t)=−150(2t−24)=−t−1225F''(t) = -\frac{1}{50}(2t - 24) = -\frac{t - 12}{25}

Em t=3t = 3, temos F′′(3)=−3−1225=925>0F''(3) = -\frac{3 - 12}{25} = \frac{9}{25} > 0, o que indica um ponto de mínimo local. Em t=21t = 21, temos F′′(21)=−21−1225=−925<0F''(21) = -\frac{21 - 12}{25} = -\frac{9}{25} < 0, o que indica um ponto de máximo local.

Como o intervalo é [0,24)[0, 24), devemos também verificar os valores da função nos extremos. Calculando:

  • F(0)=−150(0)+22=22F(0) = -\frac{1}{50}(0) + 22 = 22

  • F(3)=−150(9−108+189)+22=−9050+22=−1,8+22=20,2F(3) = -\frac{1}{50}(9 - 108 + 189) + 22 = -\frac{90}{50} + 22 = -1,8 + 22 = 20,2

  • F(21)=−150(3087−5292+1323)+22=−−88250+22=17,64+22=39,64F(21) = -\frac{1}{50}(3087 - 5292 + 1323) + 22 = -\frac{-882}{50} + 22 = 17,64 + 22 = 39,64

O menor valor entre esses é F(3)=20,2F(3) = 20,2 mil usuários, que ocorre exatamente em t=3t = 3 horas. Portanto, a afirmação de que o mínimo ocorre entre 4 h e 5 h é falsa.

A pegadinha da banca está em induzir o candidato a acreditar que o mínimo ocorre em um ponto "intermediário" do intervalo, quando na verdade ele ocorre em um ponto crítico bem definido. O candidato que não domina o cálculo diferencial pode tentar analisar a função sem derivar, o que dificulta a identificação do ponto exato.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o ponto de mínimo local e o ponto de mínimo global. O mínimo global pode ocorrer em um extremo do intervalo ou em um ponto crítico. Nesta questão, o mínimo global ocorre em t=3t = 3, que é um ponto crítico, e não em um valor intermediário como 4,5. O candidato que não calcula a derivada pode ser levado a acreditar que o mínimo está em algum lugar "no meio" do intervalo, sem verificar os pontos críticos.

Ponto crítico

t (horas)

F''(t)

Classificação

F(t) (milhares)

t = 3

3

+9/25 > 0

Mínimo local

20,2

t = 21

21

−9/25 < 0

Máximo local

39,64

Extremo do intervalo

0

—

—

22

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que o menor número de usuários ocorre entre 4 h e 5 h está incorreta. O ponto de mínimo da função é t=3t = 3 horas, como demonstrado pela análise da derivada primeira e segunda. Em t=3t = 3, o número de usuários é F(3)=20,2F(3) = 20,2 mil, que é o menor valor da função no intervalo [0,24)[0, 24). Portanto, o mínimo ocorre em 3 h, e não entre 4 h e 5 h.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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