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Questão de Matemática — Equações diferenciais ordinárias — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaEquações diferenciais ordinárias
Código
ce402799
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Cargo
ERSPT ( )
Determinado equipamento está alocado em uma sala cuja temperatura ambiente é 20 ℃. A temperatura desse equipamento, em graus Celsius, é indicada pela função θ\theta(t) , para o instante t, em minutos, tal que θ\theta(0) = 40^{ \circ} e θ\theta(10) = 30^{C}. Além disso, essa função satisfaz a equação diferencial a seguir, em que a constante K > 0.dθdt=K[θ(t)−20]\dfrac{d \theta}{dt} = K [ \theta(t) - 20] Tendo como referência a situação hipotética apresentada, julgue o item a seguir, considerando que In(0,5) = -0,7 e In(0,24) = -1,4. No instante 20 min, a temperatura do equipamento será inferior a 26 ℃.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Lei do Resfriamento de Newton: aplicação em equação diferencial

Gabarito: letra C (CERTO). A temperatura no instante t = 20 min é θ(20) = 20 + 20 × 0,5² = 25 °C, que é inferior a 26 °C. A solução da equação diferencial dθ/dt = K(θ − 20) é θ(t) = 20 + C·e^(Kt), e usando as condições θ(0) = 40 e θ(10) = 30, obtemos C = 20 e e^(10K) = 0,5, de modo que θ(20) = 20 + 20 × (0,5)² = 25 °C.

A questão trata da Lei do Resfriamento de Newton, um modelo clássico de equação diferencial ordinária de primeira ordem. Ela descreve como a temperatura de um corpo varia no tempo quando em contato com um ambiente a temperatura constante. A lei afirma que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. No problema, o ambiente está a 20 °C, e o equipamento começa a 40 °C e esfria até 30 °C em 10 minutos.

A equação diferencial dada é:

dθdt=K[θ(t)−20]\frac{d\theta}{dt} = K[\theta(t) - 20]

Essa é uma equação separável. Para resolvê-la, separamos as variáveis e integramos:

dθθ−20=K dt\frac{d\theta}{\theta - 20} = K\, dt

Integrando ambos os lados, obtemos:

ln⁡∣θ−20∣=Kt+C1\ln|\theta - 20| = Kt + C_1

Exponenciando:

θ(t)−20=C⋅eKt\theta(t) - 20 = C \cdot e^{Kt}

Portanto, a solução geral é:

θ(t)=20+C⋅eKt\theta(t) = 20 + C \cdot e^{Kt}

Agora aplicamos as condições iniciais. Para t = 0, θ(0) = 40:

40=20+C⋅e0⇒C=2040 = 20 + C \cdot e^{0} \Rightarrow C = 20

Para t = 10, θ(10) = 30:

30=20+20⋅e10K⇒10=20⋅e10K⇒e10K=0,530 = 20 + 20 \cdot e^{10K} \Rightarrow 10 = 20 \cdot e^{10K} \Rightarrow e^{10K} = 0,5

Aplicando logaritmo natural dos dois lados:

10K=ln⁡(0,5)=−0,7⇒K=−0,0710K = \ln(0,5) = -0,7 \Rightarrow K = -0,07

Note que K é negativo, o que faz sentido fisicamente: a temperatura está diminuindo. O enunciado diz K > 0, mas isso é um erro de digitação; na verdade, a constante deve ser negativa para o resfriamento. Vamos prosseguir com o valor correto.

Agora, para t = 20 min:

θ(20)=20+20⋅e20K=20+20⋅(e10K)2=20+20⋅(0,5)2=20+20⋅0,25=20+5=25\theta(20) = 20 + 20 \cdot e^{20K} = 20 + 20 \cdot (e^{10K})^2 = 20 + 20 \cdot (0,5)^2 = 20 + 20 \cdot 0,25 = 20 + 5 = 25

Portanto, θ(20) = 25 °C, que é inferior a 26 °C. A afirmação está correta.

A pegadinha aqui é que muitos alunos podem tentar resolver por interpolação linear, assumindo que a temperatura cai 1 °C por minuto (de 40 °C para 30 °C em 10 min), e então em 20 min seria 20 °C. Mas o resfriamento não é linear; é exponencial. A temperatura cai mais rápido no início e mais devagar depois, aproximando-se assintoticamente da temperatura ambiente (20 °C). Por isso, em t = 20, a temperatura é 25 °C, não 20 °C.

Outra pegadinha é usar o valor de K como positivo, o que daria um aquecimento exponencial, mas o problema é de resfriamento. A constante K deve ser negativa, e o sinal é determinado pelas condições iniciais.

Instante (t)

θ(t) calculado

Comparação com 26 °C

t = 0

40 °C

—

t = 10

30 °C

—

t = 20

20 + 20 × (0,5)² = 25 °C

25 < 26 → Certo

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO

A afirmação é verdadeira. Calculamos θ(20) = 25 °C, que é menor que 26 °C. A resolução passo a passo:

  1. Solução geral: θ(t) = 20 + C·e^(Kt)

  2. θ(0) = 40 → C = 20

  3. θ(10) = 30 → e^(10K) = 0,5

  4. θ(20) = 20 + 20·(0,5)² = 25 °C

Como 25 < 26, a afirmação está correta.

Alternativa E — ❌ Errado

A afirmação é falsa. O erro comum é supor que a temperatura em t = 20 seria 20 °C (por interpolação linear) ou que seria maior que 26 °C por um cálculo incorreto da exponencial. Na verdade, o valor correto é 25 °C, que é inferior a 26 °C. Portanto, a alternativa E está incorreta.

Gabarito: letra C (CERTO).

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