Ao valor de compra e instalação de uma antena de transmissão estão associados os custos de material (x1), de mão de obra (x2), de transporte (x3), de infraestrutura (x4) e de importação de componentes (x5), os quais estão relacionados conforme o sistema a seguir. O conjunto de todas as soluções x1,x2,x3,x4ex5 desse sistema é denotado por S, S_0 \subseteq S é o subconjunto das soluções viáveis, ou seja, soluções com x_1,x_2, x_3, x_4\,e\,x_5 assumindo valores positivos.⎩⎨⎧x1+2x2−x3−x4+x5=0x1+3x2−x3−2x4+2x5=02x1+3x2−x3−2x2+x5=0 Considerando a situação hipotética precedente, julgue o item subsequente. O subconjunto S0 é infinito.
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GabaritoC — Certo
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Sistemas lineares: classificação e conjunto solução
Gabarito: letra C (CERTO). O sistema apresentado é possível e indeterminado, pois possui mais incógnitas (5) do que equações (3), o que garante a existência de infinitas soluções. Como o subconjunto S₀ é formado pelas soluções com todas as variáveis positivas, e o conjunto solução S é infinito, S₀ também será infinito.
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que devem ser satisfeitas simultaneamente. A classificação de um sistema linear depende do número de soluções que ele admite: se não admite solução, é impossível; se admite exatamente uma solução, é possível e determinado; se admite infinitas soluções, é possível e indeterminado.
No caso em questão, temos um sistema homogêneo (todos os termos independentes são zero) com 3 equações e 5 incógnitas. Um sistema homogêneo sempre admite pelo menos a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). Além disso, quando o número de incógnitas é maior que o número de equações, o sistema é necessariamente indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções.
Para verificar isso, podemos escalonar o sistema. As equações são:
(note que o termo na terceira equação é um erro de digitação; provavelmente deveria ser , mas mesmo com o erro, o sistema permanece com 3 equações e 5 incógnitas)
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:
Subtraindo 2 vezes a primeira equação da terceira, obtemos:
O sistema escalonado tem 3 equações e 5 incógnitas, com 2 variáveis livres. Isso significa que o conjunto solução S é um espaço de dimensão 2, portanto infinito.
A questão pergunta se o subconjunto S₀ (soluções com todas as variáveis positivas) é infinito. Como S é infinito e as soluções positivas formam um subconjunto aberto de S (no sentido de que, se uma solução tem todas as variáveis positivas, pequenas variações nas variáveis livres também produzem soluções positivas), S₀ também é infinito.
Na prática, podemos escolher valores positivos para as variáveis livres e obter infinitas soluções positivas. Por exemplo, se escolhermos e , podemos resolver o sistema para as outras variáveis e obter uma solução positiva. Variando os valores de e positivamente, obtemos infinitas soluções positivas.
A pegadinha desta questão está em reconhecer que, mesmo com a restrição de positividade, o conjunto de soluções permanece infinito. Muitos candidatos podem pensar que a restrição de positividade tornaria o conjunto finito, mas isso não ocorre, pois as variáveis livres podem assumir infinitos valores positivos.
13 equações × 5 incógnitas
2Homogêneo (termos = 0)
3Mais incógnitas que equações
4Sistema indeterminado
5Infinitas soluções (S)
6Restrição de positividade (S₀)
7S₀ também é infinito
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Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO
O subconjunto S₀ é infinito. O sistema é homogêneo com 3 equações e 5 incógnitas, o que garante que o conjunto solução S é infinito (possível e indeterminado). A restrição de que todas as variáveis sejam positivas não torna o conjunto finito, pois as variáveis livres podem assumir infinitos valores positivos, gerando infinitas soluções viáveis.