Questão de Matemática — Sistemas Lineares — CESPE / CEBRASPE 2024

Sistemas lineares homogêneos e dimensão do espaço de soluções

Gabarito: letra E (ERRADO). O conjunto S das soluções de um sistema linear homogêneo com 3 equações e 5 incógnitas é um espaço vetorial, mas sua dimensão é dada por $\dim(S) = n - \text{posto}(A)$, onde $n = 5$ é o número de incógnitas. Como o posto da matriz dos coeficientes é no máximo 3 (número de equações), a dimensão de S é no mínimo $5 - 3 = 2$, e não 4. Para que a dimensão fosse 4, o posto teria que ser 1, o que exigiria que todas as equações fossem múltiplas umas das outras — o que não ocorre aqui.

Um sistema linear homogêneo é aquele em que todos os termos independentes são nulos, ou seja, da forma $AX = 0$. Diferentemente de um sistema não homogêneo, um sistema homogêneo sempre admite pelo menos a solução trivial (todas as incógnitas iguais a zero), portanto nunca é impossível. O conjunto de todas as suas soluções forma um subespaço vetorial de $\mathbb{R}^n$, chamado de espaço nulo (ou núcleo) da matriz A. A dimensão desse espaço é calculada pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema do Posto):

onde $n$ é o número de colunas (incógnitas) e $\text{posto}(A)$ é o número de linhas linearmente independentes da matriz. Essa é a relação fundamental que decide a questão.

Vamos aplicar ao caso concreto. O sistema tem 3 equações e 5 incógnitas ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$). A matriz dos coeficientes é $3 \times 5$. O posto dessa matriz não pode exceder o número de linhas, que é 3. Portanto, $\text{posto}(A) \leq 3$. Substituindo na fórmula:

Ou seja, a dimensão de S é no mínimo 2, e não 4. Para que a dimensão fosse exatamente 4, o posto da matriz teria que ser 1, o que significaria que as três equações seriam múltiplas escalares umas das outras. Isso não acontece: basta observar que os coeficientes da segunda equação não são múltiplos proporcionais dos da primeira (por exemplo, o coeficiente de $x_2$ é 3 na segunda e 2 na primeira, mas o de $x_4$ é -2 na segunda e -1 na primeira — a razão não se mantém). Logo, o posto é pelo menos 2, e a dimensão de S é no máximo 3.

A pegadinha da banca está em confundir o número de incógnitas (5) com a dimensão do espaço de soluções. O candidato desatento pode pensar: "como há 5 variáveis, a dimensão é 5" ou "como há 3 equações, a dimensão é 5 - 3 = 2" — mas o enunciado afirma 4, que não corresponde a nenhum cálculo direto. A dimensão correta depende do posto, que precisa ser calculado por escalonamento. Vamos fazer esse cálculo para confirmar:

Matriz dos coeficientes:

Escalonando (eliminação de Gauss):

1. Subtrair a linha 1 da linha 2: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ → $[0, 1, 0, -1, 1]$

2. Subtrair 2× a linha 1 da linha 3: $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ → $[0, -1, 1, 0, -1]$

3. Somar a linha 2 à linha 3: $L_3 \leftarrow L_3 + L_2$ → $[0, 0, 1, -1, 0]$

A matriz escalonada tem 3 linhas não nulas, portanto $\text{posto}(A) = 3$. Logo:

O conjunto S tem dimensão 2, não 4. A afirmação está errada.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que S tem dimensão 4 está incorreta. O cálculo correto mostra que $\text{posto}(A) = 3$ e, portanto, $\dim(S) = 5 - 3 = 2$. A dimensão de S é 2, não 4. O erro está em não calcular o posto da matriz e simplesmente afirmar uma dimensão que não corresponde à estrutura do sistema.

Gabarito: letra E (ERRADO).