Ao valor de compra e instalação de uma antena de transmissão estão associados os custos de material (x1), de mão de obra (x2), de transporte (x3), de infraestrutura (x4) e de importação de componentes (x5), os quais estão relacionados conforme o sistema a seguir. O conjunto de todas as soluções x1,x2,x3,x4ex5 desse sistema é denotado por S, S_0 \subseteq S é o subconjunto das soluções viáveis, ou seja, soluções com x_1,x_2, x_3, x_4\,e\,x_5 assumindo valores positivos.⎩⎨⎧x1+2x2−x3−x4+x5=0x1+3x2−x3−2x4+2x5=02x1+3x2−x3−2x4+x5=0 Considerando a situação hipotética precedente, julgue o item subsequente. Os custos (1, 1, 2, 2, 1) e (2, 1, 3, 3, 2) pertencem ao conjunto S.
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GabaritoC — Certo
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Sistemas lineares: verificação de soluções
Gabarito: letra C (CERTO). Os custos (1, 1, 2, 2, 1) e (2, 1, 3, 3, 2) pertencem ao conjunto S, pois ambos satisfazem as três equações do sistema linear homogêneo dado. A verificação é direta: substitui-se cada tupla nas equações e confirma-se que todas resultam em 0.
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares que devem ser satisfeitas simultaneamente. Uma solução do sistema é uma sequência de números que, ao substituir as incógnitas, torna todas as equações verdadeiras. No caso, temos um sistema homogêneo (todos os termos independentes são zero), o que significa que a solução trivial (0,0,0,0,0) sempre existe, mas podem existir outras soluções, como as apresentadas.
Para verificar se uma tupla é solução, basta substituir os valores de em cada equação e conferir se o resultado é zero. Vamos fazer isso para a primeira tupla (1, 1, 2, 2, 1):
Equação 1: ✓
Equação 2: ✓
Equação 3: ✓
Agora, para a segunda tupla (2, 1, 3, 3, 2):
Equação 1: ✓
Equação 2: ✓
Equação 3: ✓
Ambas as tuplas satisfazem todas as equações, portanto pertencem ao conjunto S. A questão não exige que as soluções sejam viáveis (positivas), apenas que pertençam a S, o que foi demonstrado.
A pegadinha aqui é que o enunciado define como o subconjunto das soluções viáveis (com valores positivos), mas a pergunta é sobre S, que é o conjunto de todas as soluções. As tuplas dadas têm todos os valores positivos, então também pertenceriam a , mas isso não é necessário para responder.
NÃO CAIA NESSA!
A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o pensar que precisa verificar se as soluções são viáveis (positivas). Mas a questão pergunta apenas sobre S, não sobre . Mesmo assim, ambas as tuplas são positivas, então não há erro.
Tupla (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)
Equação 1 (resultado)
Equação 2 (resultado)
Equação 3 (resultado)
Pertence a S?
(1, 1, 2, 2, 1)
0
0
0
Sim
(2, 1, 3, 3, 2)
0
0
0
Sim
Item — ✅ CERTO
A afirmação de que os custos (1, 1, 2, 2, 1) e (2, 1, 3, 3, 2) pertencem ao conjunto S é correta. Como demonstrado, ambas as tuplas satisfazem as três equações do sistema linear, logo são soluções do sistema e pertencem a S. A verificação é puramente algébrica: substituir os valores e confirmar que todas as equações resultam em zero.