Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — CESPE / CEBRASPE 2024

Maximização de lucro com função de duas variáveis

Gabarito: letra C (CERTO). O ponto de máximo da função $L(x,y) = 1600x + 2000y - \frac{xy}{2} - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2}$ ocorre quando as derivadas parciais de primeira ordem são nulas. Resolvendo o sistema $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$ e $\frac{\partial L}{\partial y} = 0$, obtemos exatamente $x = 2400$ e $y = 800$, confirmando a afirmação do enunciado.

A questão trata de um problema clássico de otimização em cálculo diferencial de funções de duas variáveis. O objetivo é encontrar os valores de $x$ (horas do produto alfa) e $y$ (horas do produto delta) que maximizam o lucro $L(x,y)$. Para isso, utilizamos o teste da primeira derivada (condição necessária): no ponto de máximo, as derivadas parciais de primeira ordem devem ser iguais a zero. Isso porque, em um ponto de máximo (ou mínimo), a função não cresce nem decresce em nenhuma direção — a taxa de variação instantânea é nula em todas as direções.

Vamos calcular as derivadas parciais:

• Derivada parcial em relação a $x$ (tratando $y$ como constante):

  $\frac{\partial L}{\partial x} = 1600 - \frac{y}{2} - \frac{2x}{4} = 1600 - \frac{y}{2} - \frac{x}{2}$

• Derivada parcial em relação a $y$ (tratando $x$ como constante):

  $\frac{\partial L}{\partial y} = 2000 - \frac{x}{2} - \frac{2y}{2} = 2000 - \frac{x}{2} - y$

Igualando ambas a zero, montamos o sistema:

Multiplicando a primeira equação por 2: $3200 - y - x = 0 \Rightarrow x + y = 3200$.

Multiplicando a segunda equação por 2: $4000 - x - 2y = 0 \Rightarrow x + 2y = 4000$.

Subtraindo a primeira equação da segunda: $(x + 2y) - (x + y) = 4000 - 3200 \Rightarrow y = 800$.

Substituindo $y = 800$ em $x + y = 3200$: $x + 800 = 3200 \Rightarrow x = 2400$.

Portanto, o ponto crítico é $(x, y) = (2400, 800)$.

Para garantir que esse ponto é um máximo (e não um mínimo ou ponto de sela), aplicamos o teste da segunda derivada (condição suficiente). Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:

• $\frac{\partial^2 L}{\partial x^2} = -\frac{1}{2}$

• $\frac{\partial^2 L}{\partial y^2} = -1$

• $\frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{2}$

O determinante da matriz hessiana é:

Como $H > 0$ e $\frac{\partial^2 L}{\partial x^2} = -\frac{1}{2} < 0$, o ponto crítico é um máximo local. Como a função é uma forma quadrática côncava (os coeficientes dos termos quadráticos são negativos), esse máximo local é também o máximo global da função. Portanto, o lucro é máximo quando $x = 2400$ horas e $y = 800$ horas, exatamente como afirma o enunciado.

A pegadinha desta questão é que muitos candidatos tentam resolver por tentativa e erro, substituindo os valores na função, ou confundem o método de otimização com o de funções de uma variável (derivada simples). O caminho correto é sempre montar e resolver o sistema de derivadas parciais.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Conforme demonstrado, o ponto de máximo da função $L(x,y)$ é obtido resolvendo o sistema de equações formado pelas derivadas parciais de primeira ordem igualadas a zero. O resultado é $x = 2400$ e $y = 800$, que corresponde exatamente aos valores citados no enunciado. Além disso, a verificação pela segunda derivada confirma que se trata de um ponto de máximo.

Gabarito: letra C (CERTO).