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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
ce402805
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Cargo
ERSPT ( )

Uma empresa de telecomunicação oferece dois produtos, alfa e delta, para utilização online, por meio da venda de horas de acesso ao consumidor. O lucro L obtido com a venda de x horas de acesso semanal do produto alfa e y horas de acesso semanal do produto delta é obtido pelo modelo matemático a seguir, levando em conta os custos operacionais e a capacidade computacional do sistema.

 

L(x,y)=1.600x+2.000y−xy2−x24−y22L(x,y) =1.600 x + 2.000 y - \frac{xy}{2} -\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2}   

A partir dessas informações, julgue o item, de acordo com o modelo apresentado.

 

A matriz hessiana (matriz das derivadas parciais de segunda ordem) associada à função L(x,y ) tem determinante igual a −xy4- \frac{xy}{4}.

  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Matriz Hessiana e otimização de funções de duas variáveis

Gabarito: letra E (ERRADO). O determinante da matriz hessiana da função L(x,y)=1600x+2000y−xy2−x24−y22L(x,y) = 1600x + 2000y - \frac{xy}{2} - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} é uma constante igual a 34\frac{3}{4}, e não uma expressão que depende de xx e yy como −xy4-\frac{xy}{4}. Para chegar a essa conclusão, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem e montamos a matriz hessiana, cujo determinante é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

A matriz hessiana é uma ferramenta do cálculo diferencial que organiza todas as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de várias variáveis. Para uma função f(x,y)f(x, y), ela é definida como:

H=[∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂y∂x∂2f∂y2]H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix}

Pelo Teorema de Clairaut-Schwarz, para funções com derivadas contínuas, as derivadas mistas são iguais (∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}), o que torna a matriz hessiana simétrica. O determinante dessa matriz é calculado como det⁡(H)=∂2f∂x2⋅∂2f∂y2−(∂2f∂x∂y)2\det(H) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2.

No contexto de otimização, a matriz hessiana é usada para classificar pontos críticos (máximos, mínimos ou pontos de sela). Se o determinante for positivo e a segunda derivada em relação a xx for negativa, temos um máximo local; se for positiva, um mínimo local. Se o determinante for negativo, temos um ponto de sela. Nesta questão, o determinante é positivo (34\frac{3}{4}) e as segundas derivadas são negativas, indicando que o ponto crítico é um máximo local — o que faz sentido para uma função de lucro.

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função dada:

  1. Primeiras derivadas:

    • ∂L∂x=1600−y2−x2\frac{\partial L}{\partial x} = 1600 - \frac{y}{2} - \frac{x}{2}

    • ∂L∂y=2000−x2−y\frac{\partial L}{\partial y} = 2000 - \frac{x}{2} - y

  1. Segundas derivadas:

    • ∂2L∂x2=−12\frac{\partial^2 L}{\partial x^2} = -\frac{1}{2}

    • ∂2L∂y2=−1\frac{\partial^2 L}{\partial y^2} = -1

    • ∂2L∂x∂y=−12\frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{2}

    • ∂2L∂y∂x=−12\frac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} = -\frac{1}{2}

Assim, a matriz hessiana é:

H=[−12−12−12−1]H = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}

O determinante é:

det⁡(H)=(−12)⋅(−1)−(−12)⋅(−12)=12−14=14\det(H) = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-1) - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

Portanto, o determinante é 14\frac{1}{4}, uma constante, e não −xy4-\frac{xy}{4}. A afirmação do item está incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao apresentar o determinante como uma expressão que depende de xx e yy (−xy4-\frac{xy}{4}). Isso é um erro conceitual: as derivadas de segunda ordem de uma função quadrática são sempre constantes, pois derivar um termo de grau 2 duas vezes resulta em um número. O candidato que não calcula as derivadas e apenas "chuta" com base na aparência da função pode cair na armadilha. Lembre-se: para funções polinomiais de grau 2, a matriz hessiana é sempre composta por constantes.

  1. 1Derivadas de 1ª ordem
  2. 2Derivadas de 2ª ordem
  3. 3Montar matriz Hessiana
  4. 4Calcular determinante
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Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

A afirmação de que o determinante da matriz hessiana é igual a −xy4-\frac{xy}{4} está errada. Como demonstrado, o determinante é uma constante 14\frac{1}{4}. O erro está em sugerir que o determinante depende das variáveis xx e yy, o que não ocorre para uma função quadrática. As derivadas de segunda ordem de L(x,y)L(x,y) são todas constantes, e o determinante da matriz hessiana, portanto, também é constante. O valor correto é 14\frac{1}{4}, não −xy4-\frac{xy}{4}.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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