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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
ce402806
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
ANATEL
Ano
2024
Cargo
ERSPT ( )

Uma empresa de telecomunicação oferece dois produtos, alfa e delta, para utilização online, por meio da venda de horas de acesso ao consumidor. O lucro L obtido com a venda de x horas de acesso semanal do produto alfa e y horas de acesso semanal do produto delta é obtido pelo modelo matemático a seguir, levando em conta os custos operacionais e a capacidade computacional do sistema.

 

L(x,y)=1.600x+2.000y−xy2−x24−y22L(x,y) =1.600 x + 2.000 y - \frac{xy}{2} -\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2}   

A partir dessas informações, julgue o item, de acordo com o modelo apresentado.

 

∂2L∂xy=x−42\dfrac{ \partial^2 L}{ \partial xy} = \dfrac{x -4}{2}.

  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Derivadas parciais de segunda ordem: derivada mista

Gabarito: letra E (ERRADO). A derivada parcial mista de segunda ordem ∂2L∂y∂x\frac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} da função L(x,y)=1600x+2000y−xy2−x24−y22L(x,y) = 1600x + 2000y - \frac{xy}{2} - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} é igual a −12-\frac{1}{2}, e não x−42\frac{x-4}{2} como afirma o item. O erro está em derivar incorretamente o termo −xy2-\frac{xy}{2}: a derivada parcial de −xy2-\frac{xy}{2} em relação a xx é −y2-\frac{y}{2}, e não −x2-\frac{x}{2}.

A questão cobra o conceito de derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis, especificamente a derivada mista (deriva-se primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra). Para resolver, precisamos aplicar as regras de derivação parcial passo a passo.

Vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem de LL em relação a xx, tratando yy como constante:

∂L∂x=1600−y2−2x4=1600−y2−x2\frac{\partial L}{\partial x} = 1600 - \frac{y}{2} - \frac{2x}{4} = 1600 - \frac{y}{2} - \frac{x}{2}

Agora, derivamos esse resultado em relação a yy, tratando xx como constante:

∂2L∂y∂x=∂∂y(1600−y2−x2)=−12\frac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 1600 - \frac{y}{2} - \frac{x}{2} \right) = -\frac{1}{2}

Portanto, a derivada mista é uma constante igual a −12-\frac{1}{2}, independente de xx e yy. O item apresentado, x−42\frac{x-4}{2}, é uma expressão que depende de xx, o que já indica que está incorreto.

PEGA ESSA DICA!

Para conferir se uma derivada mista foi calculada corretamente, lembre-se do Teorema de Clairaut (ou Teorema de Schwarz): se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, então ∂2L∂x∂y=∂2L∂y∂x\frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 L}{\partial y \partial x}. Ou seja, a ordem da derivação não importa. Você pode calcular a derivada mista na ordem que achar mais fácil e o resultado deve ser o mesmo. Nesta questão, por exemplo, poderíamos derivar primeiro em relação a yy e depois em relação a xx para conferir.

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que ∂2L∂x∂y=x−42\frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} = \frac{x-4}{2}. Como calculamos, o valor correto é −12-\frac{1}{2}. O erro provavelmente vem de uma derivação incorreta do termo −xy2-\frac{xy}{2}: ao derivar em relação a xx, o correto é obter −y2-\frac{y}{2}, mas quem errou pode ter derivado como se fosse em relação a yy, obtendo −x2-\frac{x}{2}, e depois derivado novamente de forma equivocada, chegando a uma expressão com xx. Além disso, o termo x24\frac{x^2}{4} foi derivado corretamente como x2\frac{x}{2}, mas a derivada mista não envolve esse termo, pois ele não contém yy.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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