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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
ce402807
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Pref Aracaju
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Julgue o item seguinte, relacionado a diferentes situações-problema. Considerando que as polegadas de uma televisão são medidas pela sua diagonal, para uma televisão de 32 polegadas e razão de aspecto de 16:9, a área visível será igual a 214.32337\frac{2^{14}.3^2}{337} polegadas quadradas.
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Área da tela de uma televisão a partir da diagonal e da razão de aspecto

Gabarito: letra C (CERTO). Para uma TV de 32 polegadas com razão de aspecto 16:9, a área visível é exatamente 214⋅32337\frac{2^{14} \cdot 3^2}{337} polegadas quadradas. Isso decorre de aplicar o Teorema de Pitágoras para relacionar a diagonal com os lados proporcionais 16k e 9k, e então calcular a área como o produto desses lados.

A questão envolve um retângulo (a tela da TV) cuja diagonal mede 32 polegadas e cujos lados estão na proporção 16:9. O primeiro passo é transformar essa proporção em medidas concretas. Se os lados são 16k16k e 9k9k, a diagonal, pelo Teorema de Pitágoras, é:

d=(16k)2+(9k)2=256k2+81k2=337k2=k337d = \sqrt{(16k)^2 + (9k)^2} = \sqrt{256k^2 + 81k^2} = \sqrt{337k^2} = k\sqrt{337}

Como a diagonal é 32, temos k337=32k\sqrt{337} = 32, logo k=32337k = \frac{32}{\sqrt{337}}. Os lados do retângulo são, portanto, 16⋅3233716 \cdot \frac{32}{\sqrt{337}} e 9⋅323379 \cdot \frac{32}{\sqrt{337}}.

A área é o produto dos lados:

A=(16⋅32337)⋅(9⋅32337)=16⋅9⋅322337=144⋅1024337A = \left(16 \cdot \frac{32}{\sqrt{337}}\right) \cdot \left(9 \cdot \frac{32}{\sqrt{337}}\right) = 16 \cdot 9 \cdot \frac{32^2}{337} = 144 \cdot \frac{1024}{337}

Fatorando 144 e 1024 em potências de 2 e 3, temos 144=24⋅32144 = 2^4 \cdot 3^2 e 1024=2101024 = 2^{10}. Assim:

A=24⋅32⋅210337=214⋅32337A = \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 2^{10}}{337} = \frac{2^{14} \cdot 3^2}{337}

Que é exatamente o valor apresentado no enunciado. A pegadinha aqui é que muitos candidatos tentam encontrar os lados individualmente (calculando 16k16k e 9k9k como números decimais) e se perdem em contas com raízes, quando o caminho mais elegante é trabalhar com o quadrado da diagonal, que elimina a raiz quadrada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não quer que você calcule os lados individualmente (o que geraria números com raízes e decimais). Ela quer que você perceba que a área pode ser obtida diretamente da relação A=16⋅9⋅d2162+92A = \frac{16 \cdot 9 \cdot d^2}{16^2 + 9^2}. Quem tenta calcular 16k16k e 9k9k separadamente perde tempo e se arrisca a errar a simplificação final.

  1. 1Lados = 16k e 9k
  2. 2Diagonal = k√337
  3. 3k = 32/√337
  4. 4Área = 16k × 9k
  5. 5Simplifica → 2¹⁴·3²/337
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Alternativa C — ✅ Correto ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A demonstração acima mostra, passo a passo, que a área da tela de 32 polegadas com proporção 16:9 é exatamente 214⋅32337\frac{2^{14} \cdot 3^2}{337} polegadas quadradas. O raciocínio central é usar a proporção para expressar os lados como 16k16k e 9k9k, aplicar Pitágoras para encontrar kk em função da diagonal e, então, calcular a área como o produto dos lados, simplificando a expressão até chegar ao valor dado.

Gabarito: letra C

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