Questão de Matemática — Sistemas Lineares — CESPE / CEBRASPE 2024

Análise do item: custo dos equipamentos e construção dos prédios

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação está incorreta porque, se o custo com equipamentos estiver entre 230 e 250 milhões de dólares, o custo com a construção dos prédios será inferior a 380 milhões de dólares, e não superior. Isso decorre da relação dada no enunciado: o gasto com o terreno, adicionado de 300 milhões, é igual ao dobro do gasto com equipamentos adicionado ao custo da construção. Vamos demonstrar matematicamente.

O problema fornece duas informações essenciais:

1. O gasto total (terreno + equipamentos + construção) é de 1,1 bilhão de dólares, ou seja, 1.100 milhões de dólares.

2. A relação: (terreno + 300) = 2 × (equipamentos + construção).

Vamos definir as variáveis:

• $T$ = custo do terreno (em milhões de dólares)

• $E$ = custo dos equipamentos (em milhões de dólares)

• $C$ = custo da construção dos prédios (em milhões de dólares)

As equações são:

1. $T + E + C = 1100$

2. $T + 300 = 2(E + C)$

Da segunda equação, isolamos $T$:

$T = 2(E + C) - 300$

Substituímos na primeira equação:

$[2(E + C) - 300] + E + C = 1100$

$2E + 2C - 300 + E + C = 1100$

$3E + 3C - 300 = 1100$

$3(E + C) = 1400$

$E + C = \frac{1400}{3} \approx 466,67$

Portanto, a soma dos custos de equipamentos e construção é fixa e vale aproximadamente 466,67 milhões de dólares. Isso significa que, se $E$ está entre 230 e 250, então $C = 466,67 - E$ estará entre:

• Se $E = 230$: $C = 466,67 - 230 = 236,67$

• Se $E = 250$: $C = 466,67 - 250 = 216,67$

Ou seja, $C$ estará entre 216,67 e 236,67 milhões de dólares, valores inferiores a 380 milhões. Portanto, a afirmação de que o custo da construção seria superior a 380 milhões é falsa.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem tentar resolver o sistema de forma incompleta, ou podem confundir a relação entre as variáveis. A chave é perceber que a soma $E + C$ é constante, independentemente do valor individual de $E$.

Vamos verificar com um exemplo numérico: se $E = 240$ milhões, então $C = 466,67 - 240 = 226,67$ milhões, e $T = 1100 - 240 - 226,67 = 633,33$ milhões. Verificando a relação: $T + 300 = 933,33$ e $2(E + C) = 2 \times 466,67 = 933,33$. Confere.

Portanto, o item está ERRADO.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação é falsa. Conforme demonstrado, a soma $E + C$ é constante e igual a $\frac{1400}{3} \approx 466,67$ milhões. Se $E$ está entre 230 e 250, então $C$ estará entre 216,67 e 236,67 milhões, sempre inferior a 380 milhões. O erro está em afirmar que seria superior a 380 milhões, quando na verdade é bem menor.

Gabarito: letra E (ERRADO).