Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2024

Volume do prédio C: paralelepípedo + semiesfera

Gabarito: letra C (CERTO). O prédio C é composto por um paralelepípedo retângulo de base quadrada (25 m × 25 m × 10 m) e uma semiesfera de diâmetro 20 m (raio 10 m). O volume total é $V = 25 \times 25 \times 10 + \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi (10)^3 = 6250 + \frac{2000\pi}{3} \approx 6250 + 2094,4 = 8344,4$ m³, que é superior a 8.100 m³.

O problema pede o volume de um sólido composto: um paralelepípedo retângulo com uma semiesfera acoplada em cima. Para resolver, precisamos calcular o volume de cada parte separadamente e somar. O paralelepípedo tem base quadrada de 25 m de lado e altura de 10 m. A semiesfera tem diâmetro de 20 m, portanto raio de 10 m. O volume da semiesfera é metade do volume de uma esfera de mesmo raio.

Vamos calcular passo a passo:

1. Volume do paralelepípedo: $V_{par} = \text{largura} \times \text{comprimento} \times \text{altura} = 25 \times 25 \times 10 = 6250$ m³.

2. Volume da esfera completa: $V_{esf} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4000\pi}{3}$ m³.

3. Volume da semiesfera: $V_{semi} = \frac{1}{2} \times V_{esf} = \frac{2000\pi}{3}$ m³.

4. Volume total: $V_{total} = 6250 + \frac{2000\pi}{3}$.

Usando $\pi \approx 3,14$:

$V_{total} = 6250 + \frac{2000 \times 3,14}{3} = 6250 + \frac{6280}{3} \approx 6250 + 2093,33 = 8343,33$ m³.

Como 8343,33 m³ > 8100 m³, a afirmação está correta.

A pegadinha aqui é dupla: primeiro, o aluno pode esquecer de somar o volume da semiesfera, calculando apenas o paralelepípedo (6250 m³), o que daria resposta errada. Segundo, pode errar o raio da semiesfera, usando o diâmetro (20 m) como raio, o que inflaria o volume. O enunciado é claro: "semiesfera de diâmetro 20 m", então o raio é 10 m.

Outra armadilha comum é usar $\pi = 3$ em vez de 3,14. Com $\pi = 3$, o volume da semiesfera seria $\frac{2000 \times 3}{3} = 2000$ m³, totalizando 8250 m³, que ainda é superior a 8100 m³. Portanto, mesmo com essa aproximação, a resposta seria correta. Mas o ideal é usar $\pi \approx 3,14$ para precisão.

A questão também traz informações sobre o prédio A (prisma hexagonal) e o prédio B (cilindro), mas elas são irrelevantes para este item, que trata apenas do prédio C. Isso é uma distração típica de banca: dados extras para confundir o candidato.

Item — ✅ CERTO

O volume do prédio C é a soma do volume do paralelepípedo com o volume da semiesfera. O paralelepípedo tem base quadrada de 25 m de lado e altura de 10 m, então $V_{par} = 25 \times 25 \times 10 = 6250$ m³. A semiesfera tem diâmetro de 20 m, logo raio de 10 m, e seu volume é $V_{semi} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{2000\pi}{3} \approx 2093,33$ m³. Somando: $V_{total} \approx 6250 + 2093,33 = 8343,33$ m³, que é superior a 8.100 m³. Portanto, a afirmação está correta.

Gabarito: letra C (CERTO)