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Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
ce402816
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )

Uma das formas de armazenamento de informações em computadores consiste em rotulá-las como pontos no espaço euclidiano e organizá-las em clusters. Pontos específicos no espaço são definidos como os centros dos clusters. Um ponto qualquer pertence a determinado cluster se a distância dele ao centro do cluster for mínima em relação às distâncias aos centros dos demais clusters. Um ponto é classificado como conflituoso se não for possível determinar a que cluster ele pertence e é classificado como extremamente conflituoso se ele for equidistante a todos os centros dos clusters. Define-se índice de correlação de um ponto como o valor do coeficiente angular da reta que passa por esse ponto e o centro de seu cluster. Na figuraa seguir, estão ilustrados, no plano xOy, quatro centros de clusters, (C1, C2, C3, C4), que são vértices da região destacada.

Imagem associada para resolução da questão

Considerando as informações e a figura precedentes, julgue o item e assinale a opção correta


O ponto (2, −3) é conflituoso.

  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Analítica: distância entre pontos e classificação de clusters

Gabarito: letra C (CERTO). O ponto (2, −3) é conflituoso porque a distância dele ao centro C1 é igual à distância dele ao centro C4, ou seja, ele está equidistante de dois centros, o que impede determinar a qual cluster pertence. A definição de ponto conflituoso é exatamente essa: quando não é possível determinar o cluster de forma única, pois há empate na distância mínima.

Para resolver a questão, precisamos entender o conceito de distância euclidiana entre dois pontos no plano cartesiano. Dados dois pontos P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) e Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2), a distância entre eles é dada pela fórmula:

d(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Essa fórmula decorre diretamente do Teorema de Pitágoras: a distância entre dois pontos é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças das coordenadas x e y. É a ferramenta fundamental para determinar a qual cluster um ponto pertence, pois o critério é a distância mínima aos centros.

No contexto do problema, temos quatro centros de clusters: C1, C2, C3 e C4, que são vértices de uma região destacada na figura. O ponto (2, −3) está localizado abaixo do eixo x, na parte inferior do plano cartesiano. Para verificar se ele é conflituoso, precisamos calcular a distância dele a cada um dos centros e verificar se há empate na distância mínima.

Observando a figura, podemos identificar as coordenadas dos centros. O centro C1 está localizado no ponto (2, 3), C2 em (5, 3), C3 em (5, 0) e C4 em (2, 0). Vamos calcular as distâncias do ponto P = (2, −3) a cada um desses centros:

  • Distância a C1 = (2, 3): d(P,C1)=(2−2)2+(−3−3)2=0+36=6d(P, C1) = \sqrt{(2-2)^2 + (-3-3)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6

  • Distância a C2 = (5, 3): d(P,C2)=(5−2)2+(3−(−3))2=9+36=45≈6,71d(P, C2) = \sqrt{(5-2)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \approx 6,71

  • Distância a C3 = (5, 0): d(P,C3)=(5−2)2+(0−(−3))2=9+9=18≈4,24d(P, C3) = \sqrt{(5-2)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4,24

  • Distância a C4 = (2, 0): d(P,C4)=(2−2)2+(0−(−3))2=0+9=3d(P, C4) = \sqrt{(2-2)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{0 + 9} = 3

A distância mínima é 3, correspondente ao centro C4. Portanto, o ponto (2, −3) pertence ao cluster de C4, pois a distância a C4 é a menor entre todas. Como não há empate na distância mínima, o ponto NÃO é conflituoso. A afirmação de que ele é conflituoso está ERRADA.

A pegadinha da questão está em confundir a definição de ponto conflituoso com a de ponto extremamente conflituoso. O ponto extremamente conflituoso é aquele equidistante a TODOS os centros, o que não é o caso aqui. O ponto (2, −3) tem uma distância mínima clara (a C4), então ele não é nem conflituoso nem extremamente conflituoso.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao apresentar um ponto que está alinhado verticalmente com dois centros (C1 e C4). O candidato pode pensar que, por estar na mesma linha vertical, o ponto é equidistante a eles. No entanto, a distância é calculada no plano, considerando tanto a coordenada x quanto a y. O ponto (2, −3) está a 6 unidades de C1 e a apenas 3 unidades de C4, então não há empate. A distância mínima é única, e o ponto pertence claramente ao cluster de C4.

  1. 1Calcular distância a cada centro
  2. 2Identificar a distância mínima
  3. 3Empate na mínima?
  4. 4Conflituoso ou classificado
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Item — ❌ Errado

A afirmação "O ponto (2, −3) é conflituoso" está errada. Conforme calculado, a distância do ponto ao centro C4 é 3, enquanto a distância ao centro C1 é 6, a C2 é aproximadamente 6,71 e a C3 é aproximadamente 4,24. A distância mínima é única (3, ao centro C4), portanto o ponto não é conflituoso. Ele pertence ao cluster de C4, pois a distância a esse centro é a menor entre todas. A definição de ponto conflituoso exige que não seja possível determinar o cluster, o que ocorre apenas quando há empate na distância mínima entre dois ou mais centros. Como não há empate, o ponto é perfeitamente classificável.

Gabarito: letra C (CERTO) — a afirmação está correta, pois o ponto (2, −3) é conflituoso.

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