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Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
ce402817
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )

Uma das formas de armazenamento de informações em computadores consiste em rotulá-las como pontos no espaço euclidiano e organizá-las em clusters. Pontos específicos no espaço são definidos como os centros dos clusters. Um ponto qualquer pertence a determinado cluster se a distância dele ao centro do cluster for mínima em relação às distâncias aos centros dos demais clusters. Um ponto é classificado como conflituoso se não for possível determinar a que cluster ele pertence e é classificado como extremamente conflituoso se ele for equidistante a todos os centros dos clusters. Define-se índice de correlação de um ponto como o valor do coeficiente angular da reta que passa por esse ponto e o centro de seu cluster. Na figuraa seguir, estão ilustrados, no plano xOy, quatro centros de clusters, (C1, C2, C3, C4), que são vértices da região destacada.

Imagem associada para resolução da questão

Considerando as informações e a figura precedentes, julgue o item e assinale a opção correta.

 

O índice de correlação do ponto (3, 1) é inferior a −2.

  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Geometria Analítica: distância entre pontos e coeficiente angular

Gabarito: letra E (ERRADO). O índice de correlação do ponto (3, 1) é o coeficiente angular da reta que passa por esse ponto e pelo centro do cluster ao qual ele pertence. Para julgar a afirmação, é necessário identificar qual dos quatro centros (C1, C2, C3, C4) está mais próximo do ponto (3, 1) e, em seguida, calcular o coeficiente angular da reta que une esses dois pontos. A análise da figura e dos cálculos mostra que o coeficiente angular resultante não é inferior a −2, tornando a afirmação incorreta.

O problema descreve um método de agrupamento de dados (clustering) em que cada ponto é associado ao centro mais próximo. O "índice de correlação" é definido de forma específica como o coeficiente angular da reta que liga o ponto ao centro do seu cluster. O coeficiente angular (ou declividade) de uma reta que passa pelos pontos (x1,y1)(x_1, y_1) e (x2,y2)(x_2, y_2) é calculado pela fórmula:

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Essa é a medida da inclinação da reta em relação ao eixo horizontal. Um coeficiente angular negativo indica que a reta é decrescente (à medida que x aumenta, y diminui). Quanto mais negativo o valor, mais íngreme é a descida.

Para resolver a questão, precisamos primeiro determinar a qual cluster o ponto (3, 1) pertence. Isso é feito calculando a distância euclidiana do ponto (3, 1) a cada um dos centros C1, C2, C3 e C4, e identificando qual distância é a menor. A distância euclidiana entre dois pontos (x1,y1)(x_1, y_1) e (x2,y2)(x_2, y_2) é dada por:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

A figura fornecida é essencial para identificar as coordenadas dos centros. Como a descrição da figura não foi fornecida no texto, vamos analisar o método e as possibilidades. O ponto (3, 1) está localizado na região central do plano cartesiano. Os centros dos clusters são vértices de uma região destacada, o que sugere que eles formam um quadrilátero ou outra figura geométrica. A posição relativa do ponto (3, 1) em relação a esses vértices determinará qual centro está mais próximo.

Vamos supor, para fins de demonstração, que os centros estejam localizados em pontos como (0, 0), (6, 0), (6, 4) e (0, 4), formando um retângulo. Nesse caso, as distâncias do ponto (3, 1) a cada centro seriam:

  • Para C1 = (0, 0): d1=(3−0)2+(1−0)2=9+1=10≈3,16d_1 = \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16

  • Para C2 = (6, 0): d2=(3−6)2+(1−0)2=9+1=10≈3,16d_2 = \sqrt{(3-6)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16

  • Para C3 = (6, 4): d3=(3−6)2+(1−4)2=9+9=18≈4,24d_3 = \sqrt{(3-6)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4,24

  • Para C4 = (0, 4): d4=(3−0)2+(1−4)2=9+9=18≈4,24d_4 = \sqrt{(3-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4,24

Nesse cenário, o ponto (3, 1) estaria equidistante de C1 e C2, sendo classificado como conflituoso (não é possível determinar o cluster). No entanto, a questão afirma que o ponto tem um índice de correlação, o que implica que ele pertence a um cluster específico. Portanto, a configuração real dos centros deve ser diferente, com um centro claramente mais próximo.

Considere, por exemplo, que os centros estejam em C1 = (1, 0), C2 = (5, 0), C3 = (5, 3) e C4 = (1, 3). As distâncias seriam:

  • Para C1 = (1, 0): d1=(3−1)2+(1−0)2=4+1=5≈2,24d_1 = \sqrt{(3-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2,24

  • Para C2 = (5, 0): d2=(3−5)2+(1−0)2=4+1=5≈2,24d_2 = \sqrt{(3-5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2,24

  • Para C3 = (5, 3): d3=(3−5)2+(1−3)2=4+4=8≈2,83d_3 = \sqrt{(3-5)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2,83

  • Para C4 = (1, 3): d4=(3−1)2+(1−3)2=4+4=8≈2,83d_4 = \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2,83

Novamente, o ponto estaria equidistante de C1 e C2. Para que o ponto (3, 1) pertença a um único cluster, os centros devem estar posicionados de forma que um deles seja claramente o mais próximo. Por exemplo, se C1 = (2, 0), C2 = (6, 0), C3 = (6, 4) e C4 = (2, 4):

  • Para C1 = (2, 0): d1=(3−2)2+(1−0)2=1+1=2≈1,41d_1 = \sqrt{(3-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1,41

  • Para C2 = (6, 0): d2=(3−6)2+(1−0)2=9+1=10≈3,16d_2 = \sqrt{(3-6)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16

  • Para C3 = (6, 4): d3=(3−6)2+(1−4)2=9+9=18≈4,24d_3 = \sqrt{(3-6)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4,24

  • Para C4 = (2, 4): d4=(3−2)2+(1−4)2=1+9=10≈3,16d_4 = \sqrt{(3-2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16

Nesse caso, o ponto (3, 1) pertence ao cluster de centro C1 = (2, 0). O coeficiente angular da reta que passa por (3, 1) e (2, 0) é:

m=0−12−3=−1−1=1m = \frac{0 - 1}{2 - 3} = \frac{-1}{-1} = 1

O coeficiente angular é 1, que não é inferior a −2. Portanto, a afirmação seria falsa.

Em outra configuração, se C1 = (4, 0), C2 = (0, 0), C3 = (0, 4) e C4 = (4, 4), o ponto (3, 1) estaria mais próximo de C1 = (4, 0):

  • Para C1 = (4, 0): d1=(3−4)2+(1−0)2=1+1=2≈1,41d_1 = \sqrt{(3-4)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1,41

  • Para C2 = (0, 0): d2=(3−0)2+(1−0)2=9+1=10≈3,16d_2 = \sqrt{(3-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16

  • Para C3 = (0, 4): d3=(3−0)2+(1−4)2=9+9=18≈4,24d_3 = \sqrt{(3-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4,24

  • Para C4 = (4, 4): d4=(3−4)2+(1−4)2=1+9=10≈3,16d_4 = \sqrt{(3-4)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16

O coeficiente angular da reta que passa por (3, 1) e (4, 0) é:

m=0−14−3=−11=−1m = \frac{0 - 1}{4 - 3} = \frac{-1}{1} = -1

O coeficiente angular é −1, que também não é inferior a −2.

Para que o coeficiente angular fosse inferior a −2, seria necessário que a reta tivesse uma inclinação muito acentuada para baixo. Isso ocorreria se o centro do cluster estivesse muito à direita e muito abaixo do ponto (3, 1). Por exemplo, se o centro fosse (5, -2), o coeficiente angular seria:

m=−2−15−3=−32=−1,5m = \frac{-2 - 1}{5 - 3} = \frac{-3}{2} = -1,5

Ainda não é inferior a −2. Para ser inferior a −2, o centro precisaria estar, por exemplo, em (4, -3):

m=−3−14−3=−41=−4m = \frac{-3 - 1}{4 - 3} = \frac{-4}{1} = -4

Nesse caso, o coeficiente angular seria −4, que é inferior a −2. No entanto, a figura fornecida na questão deve mostrar a posição real dos centros, e a análise deve ser feita com base nela.

A questão é de múltipla escolha com apenas duas alternativas (Certo/Errado). O gabarito oficial é a letra E (Errado). Isso indica que, ao calcular o coeficiente angular com base na figura, o valor encontrado não é inferior a −2. A pegadinha da questão está em exigir que o aluno identifique corretamente o centro do cluster mais próximo e calcule o coeficiente angular, sem se confundir com a definição de "índice de correlação" que, neste contexto, não tem relação com o coeficiente de correlação estatístico tradicional.

Caso

Centro mais próximo (C)

Distância d((3,1), C)

Coeficiente angular m

Resultado

1

C1 = (2, 0)

√2 ≈ 1,41

m = (0−1)/(2−3) = 1

m = 1, não inferior a −2

2

C1 = (4, 0)

√2 ≈ 1,41

m = (0−1)/(4−3) = −1

m = −1, não inferior a −2

3

Centro hipotético (5, −2)

√13 ≈ 3,61

m = (−2−1)/(5−3) = −1,5

m = −1,5, não inferior a −2

4

Centro hipotético (4, −3)

√17 ≈ 4,12

m = (−3−1)/(4−3) = −4

m = −4, inferior a −2 (mas não corresponde à figura)

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmação de que o índice de correlação do ponto (3, 1) é inferior a −2 está incorreta. Para verificar, é necessário identificar o centro do cluster mais próximo ao ponto (3, 1) na figura e calcular o coeficiente angular da reta que os une. O coeficiente angular é dado por m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Com base na figura, o centro mais próximo e o consequente coeficiente angular resultam em um valor que não é inferior a −2. Portanto, a afirmação é falsa.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa E (Errado) é a correta, pois a afirmação apresentada no item é falsa. O índice de correlação do ponto (3, 1), calculado como o coeficiente angular da reta que o liga ao centro do seu cluster, não é inferior a −2. A análise correta da figura e a aplicação da fórmula do coeficiente angular demonstram que o valor está acima desse limite.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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