Uma das formas de armazenamento de informações em computadores consiste em rotulá-las como pontos no espaço euclidiano e organizá-las em clusters. Pontos específicos no espaço são definidos como os centros dos clusters. Um ponto qualquer pertence a determinado cluster se a distância dele ao centro do cluster for mínima em relação às distâncias aos centros dos demais clusters. Um ponto é classificado como conflituoso se não for possível determinar a que cluster ele pertence e é classificado como extremamente conflituoso se ele for equidistante a todos os centros dos clusters. Define-se índice de correlação de um ponto como o valor do coeficiente angular da reta que passa por esse ponto e o centro de seu cluster. Na figuraa seguir, estão ilustrados, no plano xOy, quatro centros de clusters, (C1, C2, C3, C4), que são vértices da região destacada.
Na figura apresentada,
Aexistem pelo menos dois pontos extremamente conflituosos no interior da região destacada.
Bexistem, no máximo, três pontos conflituosos no exterior da região destacada e no terceiro quadrante.
Cexiste, no exterior da região destacada, um ponto que é equidistante a pelo menos três centros de cluster.
Dexistem infinitos pontos conflituosos no interior da região destacada.
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GabaritoD — existem infinitos pontos conflituosos no interior da região destacada.
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Geometria Analítica: Diagrama de Voronoi e pontos conflituosos
Gabarito: letra D. A região destacada, cujos vértices são os centros dos clusters, é um quadrilátero convexo. Para qualquer ponto no interior de um quadrilátero convexo, é sempre possível encontrar outro ponto que esteja à mesma distância de dois centros (ou seja, na mediatriz entre eles), o que gera infinitos pontos conflituosos. A alternativa D está correta porque, no interior da região, existem infinitos pontos que estão na fronteira entre dois clusters, sendo, portanto, conflituosos.
O problema descreve um conceito fundamental da geometria computacional: o Diagrama de Voronoi. Dado um conjunto de pontos (os centros dos clusters), o plano é dividido em regiões, onde cada região contém todos os pontos que estão mais próximos de um centro específico do que de qualquer outro. As fronteiras entre essas regiões são formadas por pontos que estão à mesma distância de dois (ou mais) centros. Esses pontos são exatamente os pontos conflituosos definidos no enunciado.
A região destacada na figura é o quadrilátero cujos vértices são os quatro centros (C1, C2, C3, C4). Para entender a alternativa D, precisamos analisar o que acontece dentro desse quadrilátero. Considere dois centros adjacentes, por exemplo, C1 e C2. O conjunto de pontos que estão à mesma distância de C1 e C2 é a mediatriz do segmento C1C2. Essa mediatriz é uma reta que corta o quadrilátero. Qualquer ponto dessa reta que esteja dentro do quadrilátero é um ponto conflituoso (está à mesma distância de C1 e C2). Como uma reta tem infinitos pontos, e a interseção dessa reta com o interior do quadrilátero é um segmento de reta (que também tem infinitos pontos), concluímos que existem infinitos pontos conflituosos no interior da região destacada.
A alternativa D é a única que afirma uma propriedade verdadeira e geral sobre a configuração. As demais alternativas fazem afirmações que dependem da forma exata do quadrilátero e da posição dos centros, que não podem ser generalizadas a partir das informações dadas. A banca explora a confusão entre pontos conflituosos (equidistantes de dois centros) e pontos extremamente conflituosos (equidistantes de todos os centros), que são um caso muito mais raro.
Caso
Hipótese testada
Resultado
1
Existem pelo menos dois pontos equidistantes a todos os 4 centros (extremamente conflituosos) no interior
Inviável — o ponto equidistante a 3 centros não colineares é único; para 4 centros, só existe se o quadrilátero for cíclico, e mesmo assim é um único ponto
2
Existem no máximo três pontos conflituosos no exterior da região e no terceiro quadrante
Contradição — as mediatrizes entre pares de centros se estendem infinitamente para fora do quadrilátero, gerando infinitos pontos conflituosos
3
Existe, no exterior da região, um ponto equidistante a pelo menos três centros
Inviável — o circuncentro de três centros pode estar dentro ou fora, mas sua existência e posição não são garantidas pela configuração dada
4
Existem infinitos pontos conflituosos no interior da região destacada
Consistente — a mediatriz entre dois centros adjacentes (ex.: C1 e C2) intersecta o interior do quadrilátero em um segmento de reta, que contém infinitos pontos equidistantes desses dois centros
Pontos conflituosos
1Equidistantes de 2 centros
Mediatriz do segmento
Infinitos no interior
2Extremamente conflituosos
Equidistantes de todos
Circuncentro (único)
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Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que existem pelo menos dois pontos extremamente conflituosos no interior da região. Um ponto extremamente conflituoso é equidistante a todos os quatro centros. Isso só ocorre em um ponto específico: o circuncentro do quadrilátero, que é o ponto equidistante de todos os vértices. Para um quadrilátero, o circuncentro só existe se ele for cíclico (inscritível em uma circunferência). Mesmo que exista, ele é um ponto único, não dois. A alternativa erra ao afirmar que existem pelo menos dois pontos com essa propriedade, o que é geometricamente impossível para um conjunto de quatro pontos não coplanares (no plano, o ponto equidistante de três pontos não colineares é único).
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que existem, no máximo, três pontos conflituosos no exterior da região e no terceiro quadrante. O número de pontos conflituosos (que estão na fronteira entre dois clusters) no exterior da região é, em geral, infinito, pois as mediatrizes se estendem para fora do quadrilátero. A afirmação de que são "no máximo três" é arbitrária e não tem fundamento geométrico. A banca tenta confundir o candidato com uma limitação numérica que não existe.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que existe, no exterior da região, um ponto equidistante a pelo menos três centros. Isso é possível, mas não é uma propriedade garantida. O ponto equidistante a três centros é o circuncentro do triângulo formado por esses três centros. Esse ponto pode estar dentro ou fora do quadrilátero, dependendo da configuração. A alternativa afirma que existe um ponto assim no exterior, o que não é necessariamente verdade para qualquer configuração de quatro pontos. A banca explora a possibilidade, mas não a certeza.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Afirma que existem infinitos pontos conflituosos no interior da região destacada. Como explicado, a mediatriz entre dois centros adjacentes (por exemplo, C1 e C2) é uma reta que corta o quadrilátero. A interseção dessa reta com o interior do quadrilátero é um segmento de reta, que contém infinitos pontos. Cada ponto desse segmento está à mesma distância de C1 e C2, portanto é um ponto conflituoso. Logo, existem infinitos pontos conflituosos no interior da região.
