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Questão de Matemática — Função Inversa — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaFunção Inversa
Código
ce402821
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )

Comparando o histórico familiar e fatores de riscos para determinadas doenças, pesquisadores da área de medicina planejam o tratamento e cuidados preventivos em pacientes por meio de sistemas de IA embasados em modelos de regressão logística. O modelo é representado pela função g(x)=11+e−xg(x) = \frac{1}{ 1 + e^{-x}}, em que x é associado a um valor de probabilidade entre zero e um. A tabela a seguir apresenta os scores para fatores de risco de um paciente desenvolver uma cardiopatia. Os scores variam no intervalo [−4, 4], tal que valores próximos de −4 representam baixo risco e próximo de 4, alto risco. A partir desses scores, encontra-se o valor de por meio da expressão = 0,1P + 0,2F + 0,3S + 0,4H e, em seguida, calcula-se g(x).

fator de risco

score

pressão alta (P)

-2

fumante (F)

1

sedentarismo (S)

2

histórico familiar (H)

1

Com base nas informações precedentes, e assumindo e = 3, julgue o próximo item.

 

A função inversa de g(x) é dada por g−1=In(x1−x)g^{-1} = In \left ( \frac{x}{1 -x} \right)

  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função inversa da sigmoide (regressão logística)

Gabarito: letra C (CERTO). A função inversa de g(x)=11+e−xg(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} é, de fato, g−1(x)=ln⁡(x1−x)g^{-1}(x) = \ln\left(\frac{x}{1-x}\right), que é a função logit, amplamente usada em regressão logística. O item está correto.

A função sigmoide (ou logística) é uma função bijetora de R\mathbb{R} em (0,1)(0, 1), o que garante a existência de sua inversa. Para encontrá-la, seguimos o procedimento padrão: trocamos as variáveis e isolamos a nova variável dependente.

Partindo de y=11+e−xy = \frac{1}{1 + e^{-x}}, trocamos xx por yy: x=11+e−yx = \frac{1}{1 + e^{-y}}. Agora, isolamos yy:

  1. Invertemos a fração: 1x=1+e−y\frac{1}{x} = 1 + e^{-y}

  2. Subtraímos 1: 1x−1=e−y\frac{1}{x} - 1 = e^{-y}

  3. Simplificamos: 1−xx=e−y\frac{1-x}{x} = e^{-y}

  4. Aplicamos o logaritmo natural (função inversa da exponencial): ln⁡(1−xx)=−y\ln\left(\frac{1-x}{x}\right) = -y

  5. Multiplicamos por −1-1: y=−ln⁡(1−xx)y = -\ln\left(\frac{1-x}{x}\right)

  6. Usando a propriedade do logaritmo de um inverso: y=ln⁡(x1−x)y = \ln\left(\frac{x}{1-x}\right)

Portanto, g−1(x)=ln⁡(x1−x)g^{-1}(x) = \ln\left(\frac{x}{1-x}\right), exatamente como afirma o item. Essa expressão é conhecida como logit e é a base da regressão logística, que modela a probabilidade de um evento (como desenvolver uma cardiopatia) a partir de um conjunto de fatores de risco.

A questão contextualiza a função com scores de fatores de risco (pressão alta, fumante, sedentarismo, histórico familiar) combinados linearmente em x=0,1P+0,2F+0,3S+0,4Hx = 0{,}1P + 0{,}2F + 0{,}3S + 0{,}4H. O valor de xx é então aplicado à sigmoide para obter uma probabilidade entre 0 e 1. A inversa permite o caminho contrário: dado um valor de probabilidade, recuperar o score xx.

A pegadinha aqui é sutil: o item usa a notação "In" (que deve ser lida como "ln", logaritmo natural) e apresenta a fração x1−x\frac{x}{1-x}. O candidato pode se confundir com a ordem dos termos no logaritmo, mas a derivação acima mostra que a expressão está correta. A função inversa da sigmoide é exatamente o logaritmo da razão entre a probabilidade e seu complemento.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir com a ordem dos termos no logaritmo. A inversa correta é ln⁡(x1−x)\ln\left(\frac{x}{1-x}\right), e não ln⁡(1−xx)\ln\left(\frac{1-x}{x}\right). A derivação passo a passo mostra que, ao isolar yy, chegamos a ln⁡(x1−x)\ln\left(\frac{x}{1-x}\right) após multiplicar por −1-1 e usar a propriedade do logaritmo do inverso. Fique atento a essa inversão, que é o erro mais comum nesse tipo de questão.

Grupo AGrupo Bsó Asó BA∩BLEVELsoulevel.com.br
Conjuntos de risco — só Grupo A: só A; só Grupo B: só B; Grupo A∩Grupo B: A∩B

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A função inversa de g(x)=11+e−xg(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} é g−1(x)=ln⁡(x1−x)g^{-1}(x) = \ln\left(\frac{x}{1-x}\right). A demonstração completa foi feita acima, e o resultado é a função logit, fundamental na regressão logística. O item não apenas apresenta a fórmula correta, mas também a contextualiza adequadamente no problema de modelagem de risco, onde a inversa permite interpretar probabilidades em termos de scores.

Gabarito: letra C (CERTO).

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