Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2024

Circunferência: equação reduzida e posição relativa entre circunferências

Gabarito: letra E (ERRADO). A circunferência criada pelo sistema de IA passa pelos pontos A = (5, 0), B = (0, 3) e C = (0, 10). A circunferência dada por $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ tem centro em (0, 3) e raio 4, enquanto a circunferência do sistema de IA tem centro em (0, 6,5) e raio aproximadamente 6,5. Como a distância entre os centros (3,5) somada ao raio da menor (4) é 7,5, que é maior que o raio da maior (6,5), a menor não está totalmente contida na maior — ela a intersecta em dois pontos.

Para resolver esta questão, precisamos dominar dois conceitos fundamentais da Geometria Analítica: a equação reduzida da circunferência e a posição relativa entre duas circunferências.

1. Equação reduzida da circunferência

Toda circunferência de centro $C(x_0, y_0)$ e raio $r$ é o lugar geométrico dos pontos $P(x, y)$ que estão à distância $r$ de $C$. Isso se traduz na equação reduzida:

Essa é a forma mais direta de identificar o centro e o raio. Por exemplo, a circunferência de centro (3, −2) e raio 4 tem equação $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$.

2. Encontrando a circunferência que passa por três pontos

Quando conhecemos três pontos não colineares, podemos substituí-los na equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ e montar um sistema para encontrar $D$, $E$ e $F$. Alternativamente, podemos usar a equação reduzida e resolver para $x_0$, $y_0$ e $r$.

Vamos aplicar isso aos pontos A = (5, 0), B = (0, 3) e C = (0, 10):

• Para A(5, 0): $25 + 5D + F = 0$

• Para B(0, 3): $9 + 3E + F = 0$

• Para C(0, 10): $100 + 10E + F = 0$

Subtraindo a equação de B da de C, obtemos $91 + 7E = 0$, logo $E = -13$. Substituindo em B: $9 - 39 + F = 0$, logo $F = 30$. Substituindo em A: $25 + 5D + 30 = 0$, logo $D = -11$.

Portanto, a equação da circunferência do sistema de IA é $x^2 + y^2 - 11x - 13y + 30 = 0$.

Completando quadrados para encontrar o centro e o raio:

Assim, o centro é $C_1 = \left(\frac{11}{2}, \frac{13}{2}\right) = (5,5; 6,5)$ e o raio é $r_1 = \sqrt{\frac{85}{2}} \approx 6,52$.

3. A circunferência dada no item

A equação $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ pode ser reescrita completando quadrados:

Portanto, o centro é $C_2 = (0, 3)$ e o raio é $r_2 = 4$.

4. Posição relativa entre as duas circunferências

Para saber se uma circunferência está totalmente contida na outra, precisamos comparar a distância entre os centros $d$ com os raios $r_1$ e $r_2$.

A distância entre $C_1(5,5; 6,5)$ e $C_2(0, 3)$ é:

Para que a circunferência 2 esteja totalmente contida na circunferência 1, precisaríamos que $d + r_2 \leq r_1$. Calculando:

Como $10,52 > 6,52$, a condição não é satisfeita. Na verdade, como $|r_1 - r_2| \approx |6,52 - 4| = 2,52 < d \approx 6,52 < r_1 + r_2 \approx 10,52$, as duas circunferências se intersectam em dois pontos. Portanto, a circunferência menor NÃO está totalmente contida na maior.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que a circunferência $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ está totalmente contida na circunferência criada pelo sistema de IA é falsa. Como demonstrado, a distância entre os centros é aproximadamente 6,52, e a soma da distância com o raio da menor (4) é 10,52, que excede o raio da maior (6,52). Isso significa que as circunferências se intersectam, e não que uma está contida na outra.

A pegadinha aqui é que o aluno pode tentar comparar apenas os raios (4 < 6,52) e concluir que a menor está contida, esquecendo de considerar a distância entre os centros. A condição correta para contenção total é $d + r_{menor} \leq r_{maior}$, que não é satisfeita.

Gabarito: letra E (ERRADO).