Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Função Exponencial e Inequações Exponenciais
Código
ce402827
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
No desenvolvimento de um sistema de IA, o modelo matemático f(x) = e^{mx +b}, com , G ∈ ℝ, permite que os algoritmos aprendam com dados não lineares e façam previsões mais precisas, facilitando a análise de textos e a identificação de padrões em linguagem natural. Caracterizado por um crescimento ou decréscimo exponencial, o modelo se destaca como potencial candidato para modelar variáveis não lineares, devido à sua capacidade de representar mudanças drásticas em intervalos curtos de variação dos dados. A partir dessas informações, julgue o item a seguir. Para m = −2 e b = 0, o gráfico da função h(x) = In[f(x)] será igual ao gráfico da reta y = 2x.
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GabaritoE — Errado
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Função exponencial e logaritmo natural: linearização
Gabarito: letra E (ERRADO). Para m = −2 e b = 0, temos f(x) = e^(−2x). A função h(x) = ln[f(x)] = ln(e^(−2x)) = −2x, que é a reta y = −2x, e não y = 2x. O erro está no sinal do coeficiente angular: a banca trocou o sinal, pois o logaritmo natural de e^(mx+b) é exatamente mx+b, e com m = −2 o resultado é −2x.
A questão explora a relação entre a função exponencial e o logaritmo natural, que são funções inversas. Quando aplicamos o logaritmo natural a uma exponencial de base e, o logaritmo "desfaz" a exponenciação, resultando no expoente original. Essa é a propriedade fundamental: ln(e^u) = u, para qualquer u real. No modelo f(x) = e^(mx+b), aplicar ln em ambos os lados resulta em ln(f(x)) = mx + b, que é uma função linear (reta) com coeficiente angular m e coeficiente linear b. Essa operação é conhecida como "linearização" e é amplamente usada em estatística e machine learning para transformar relações exponenciais em relações lineares, facilitando a análise e o ajuste de modelos.
No caso específico, com m = −2 e b = 0, a função exponencial é f(x) = e^(−2x). Observe que o expoente é −2x, que é uma função decrescente. Ao aplicar o logaritmo natural, obtemos h(x) = ln(e^(−2x)) = −2x. Portanto, o gráfico de h é uma reta com inclinação −2, ou seja, y = −2x. A afirmação do enunciado diz que o gráfico será igual ao da reta y = 2x, o que é incorreto, pois o coeficiente angular é −2, não 2. A pegadinha está exatamente na troca do sinal: o candidato pode esquecer o sinal negativo de m e marcar como certo.
Para fixar: a função exponencial f(x) = e^(mx+b) tem como logaritmo natural a função linear h(x) = mx + b. O coeficiente angular da reta resultante é m, e o coeficiente linear é b. Portanto, para m = −2, a reta é decrescente, com inclinação −2. A banca explora a confusão entre o sinal do coeficiente angular, que é um erro comum ao manipular expoentes negativos.
1f(x) = e^(mx+b)
2ln(f(x)) = mx + b
3m = −2, b = 0
4h(x) = −2x ≠ 2x
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Item — ❌ ERRADO
A afirmação está incorreta. Com m = −2 e b = 0, temos f(x) = e^(−2x). Aplicando o logaritmo natural, h(x) = ln(e^(−2x)) = −2x, que é a reta y = −2x, e não y = 2x. O erro está no sinal do coeficiente angular: a banca trocou o sinal, pois o logaritmo natural de e^(mx+b) é exatamente mx+b, e com m = −2 o resultado é −2x.