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Questão de Matemática — Progressão Geométrica — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaProgressão Geométrica
Código
ce402828
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
No desenvolvimento de um sistema de IA, o modelo matemático f(x) = e^{mx +b}, com , G ∈ ℝ, permite que os algoritmos aprendam com dados não lineares e façam previsões mais precisas, facilitando a análise de textos e a identificação de padrões em linguagem natural. Caracterizado por um crescimento ou decréscimo exponencial, o modelo se destaca como potencial candidato para modelar variáveis não lineares, devido à sua capacidade de representar mudanças drásticas em intervalos curtos de variação dos dados. A partir dessas informações, julgue o item a seguir.   A sequência f(x0), f(x0 + 1), f(x0 + 2), ..., f(x0 + n), em que n ∈ ℕ, é uma progressão geométrica de razão r = em.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Progressão geométrica e a função exponencial

Gabarito: letra C (CERTO). A sequência f(x0),f(x0+1),f(x0+2),…,f(x0+n)f(x_0), f(x_0+1), f(x_0+2), \ldots, f(x_0+n) é uma progressão geométrica de razão q=emq = e^m, pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por eme^m, uma constante real. Isso decorre diretamente da propriedade da função exponencial f(x)=emx+bf(x) = e^{mx+b}.

Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante real qq, chamada de razão. No caso da função exponencial, ao avaliarmos a função em pontos igualmente espaçados, a razão entre termos consecutivos é constante e igual a eme^m.

Vamos demonstrar: considere f(x)=emx+bf(x) = e^{mx+b}. Para um termo genérico f(x0+k)f(x_0 + k), temos:

f(x0+k)=em(x0+k)+b=emx0+b⋅emkf(x_0 + k) = e^{m(x_0+k)+b} = e^{mx_0 + b} \cdot e^{mk}

Assim, a razão entre um termo e o anterior é:

f(x0+k+1)f(x0+k)=emx0+b⋅em(k+1)emx0+b⋅emk=em\frac{f(x_0 + k+1)}{f(x_0 + k)} = \frac{e^{mx_0 + b} \cdot e^{m(k+1)}}{e^{mx_0 + b} \cdot e^{mk}} = e^m

Ou seja, a razão é constante e igual a eme^m, independentemente de kk. Portanto, a sequência é uma P.G. de razão q=emq = e^m.

Essa propriedade é fundamental em aplicações práticas, como no modelo de crescimento exponencial citado no enunciado: quando a variável independente aumenta em uma unidade, o valor da função é multiplicado por um fator constante. Isso contrasta com a progressão aritmética, em que a diferença entre termos consecutivos é constante, e não a razão.

A pegadinha da banca, se houvesse, seria confundir a razão da P.G. com a diferença da P.A. — mas aqui a razão é claramente eme^m, e não mm ou em−1e^m - 1. O item está correto.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como demonstrado, a sequência f(x0),f(x0+1),…,f(x0+n)f(x_0), f(x_0+1), \ldots, f(x_0+n) é uma progressão geométrica de razão q=emq = e^m. Isso ocorre porque a função exponencial transforma incrementos aritméticos na variável independente em multiplicações por um fator constante na variável dependente. A razão eme^m é constante e real, satisfazendo a definição de P.G.

Gabarito: letra C (CERTO).

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