Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — CESPE / CEBRASPE 2024

Função exponencial: crescimento e decrescimento

Gabarito: letra E (ERRADO). Quando $m < 0$, a função $f(x) = e^{mx + b}$ é decrescente, não crescente. Isso ocorre porque a base $e \approx 2,718 > 1$ e o expoente $mx + b$ diminui à medida que $x$ aumenta, fazendo o valor da função cair. A afirmação inverte o comportamento da função exponencial, que é crescente apenas quando o coeficiente do expoente é positivo ($m > 0$).

A função exponencial é definida por $f(x) = a^x$, com base $a > 0$ e $a \neq 1$. O comportamento de crescimento ou decrescimento depende exclusivamente da base $a$: se $a > 1$, a função é crescente; se $0 < a < 1$, é decrescente. No caso da função $f(x) = e^{mx + b}$, a base é o número de Euler $e$, que vale aproximadamente 2,718, portanto maior que 1. No entanto, o expoente não é simplesmente $x$, mas sim $mx + b$, uma expressão linear em $x$. É o sinal do coeficiente $m$ que determina se o expoente cresce ou decresce com $x$, e consequentemente se a função como um todo cresce ou decresce.

Vamos analisar com um exemplo concreto. Se $m = -2$ e $b = 1$, temos $f(x) = e^{-2x + 1}$. Calculando alguns valores:

• $f(0) = e^{1} \approx 2,718$

• $f(1) = e^{-1} \approx 0,368$

• $f(2) = e^{-3} \approx 0,0498$

Observe que, à medida que $x$ aumenta, o valor de $f(x)$ diminui drasticamente. Isso caracteriza uma função decrescente. A intuição de que "exponencial é sempre crescente" é uma armadilha comum: ela vale apenas para a forma mais simples $f(x) = a^x$ com $a > 1$, mas quando há um coeficiente negativo multiplicando $x$ no expoente, o comportamento se inverte.

A distinção crucial está entre a base da exponencial e o sinal do coeficiente do expoente. A base $e > 1$ indica que, se o expoente crescer, a função cresce; mas se o expoente decrescer (porque $m < 0$), a função decresce. É o sinal de $m$ que manda no comportamento global. Essa é exatamente a pegadinha que a banca explora: o candidato vê "exponencial" e "base maior que 1" e assume crescimento, ignorando o efeito do coeficiente negativo no expoente.

Guarde o critério decisivo: na função $f(x) = e^{mx + b}$, o sinal de $m$ determina a monotonicidade — $m > 0$ implica função crescente, $m < 0$ implica função decrescente, e $m = 0$ implica função constante. É com essa régua que julgamos a afirmação.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação diz que "quando $m < 0$, o modelo representa uma função crescente". Isso está incorreto. Com $m < 0$, o expoente $mx + b$ é uma função decrescente de $x$: quanto maior o $x$, menor o valor de $mx + b$. Como a base $e > 1$, a exponencial de um expoente menor resulta em um valor menor. Portanto, $f(x)$ diminui quando $x$ aumenta, caracterizando uma função decrescente. A função seria crescente apenas se $m > 0$, pois aí o expoente cresceria com $x$ e, com base maior que 1, o valor da função também cresceria.

Gabarito: letra E (ERRADO).