Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — CESPE / CEBRASPE 2024

Função exponencial: avaliação de f(-b/m)

Gabarito: letra C (CERTO). Substituindo $x = -\frac{b}{m}$ na função $f(x) = e^{mx+b}$, obtemos $f\left(-\frac{b}{m}\right) = e^{m\cdot(-\frac{b}{m})+b} = e^{-b+b} = e^0 = 1$. A condição $m \neq 0$ garante que a expressão $-\frac{b}{m}$ está bem definida, e a propriedade fundamental $e^0 = 1$ (qualquer número não nulo elevado a zero é 1) resolve a questão.

A função exponencial é uma das funções mais importantes da matemática, definida por $f(x) = a^x$, onde a base $a$ é um número real positivo e diferente de 1. No caso do enunciado, a base é o número de Euler $e \approx 2,718$, que é maior que 1, portanto a função $f(x) = e^{mx+b}$ é crescente se $m > 0$ e decrescente se $m < 0$. O parâmetro $m$ controla a taxa de crescimento ou decrescimento, enquanto $b$ desloca o gráfico verticalmente.

A propriedade central que resolve a questão é que qualquer número não nulo elevado a zero é igual a 1. No caso da base $e$, temos $e^0 = 1$. Isso significa que, para qualquer valor de $x$ que torne o expoente $mx+b$ igual a zero, o valor da função será exatamente 1. O ponto onde o expoente se anula é precisamente a raiz da expressão linear $mx+b = 0$, que ocorre quando $x = -\frac{b}{m}$.

Vamos verificar com um exemplo numérico. Se $m = 2$ e $b = 3$, então $f(x) = e^{2x+3}$. Calculando em $x = -\frac{3}{2}$:

De fato, o ponto $\left(-\frac{3}{2}, 1\right)$ pertence ao gráfico da função. Isso ocorre porque o expoente $2x+3$ se anula exatamente nesse ponto, e qualquer base não nula elevada a zero resulta em 1.

A condição $m \neq 0$ é essencial. Se $m = 0$, a função se torna $f(x) = e^b$, que é uma função constante, e a expressão $-\frac{b}{m}$ não estaria definida (divisão por zero). Portanto, a condição garante que o ponto $x = -\frac{b}{m}$ existe e é único.

A pegadinha desta questão está em não perceber que o expoente $mx+b$ se anula exatamente no ponto indicado. O candidato pode tentar substituir diretamente e se confundir com os parâmetros, mas a chave é reconhecer que $m \cdot \left(-\frac{b}{m}\right) = -b$, e portanto o expoente se torna $-b + b = 0$. A propriedade $e^0 = 1$ é o que garante o resultado.

Item — ✅ CERTO

A afirmação é verdadeira. Substituindo $x = -\frac{b}{m}$ na função:

A condição $m \neq 0$ garante que a divisão é válida, e a propriedade fundamental da exponenciação $e^0 = 1$ (qualquer base não nula elevada a zero é 1) confirma o resultado. O ponto $x = -\frac{b}{m}$ é exatamente onde o expoente $mx+b$ se anula, tornando o valor da função igual a 1.

Gabarito: letra C (CERTO).