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Questão de Matemática — Matrizes — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaMatrizes
Código
ce402831
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )

Técnicas de ciência de dados são geralmente aplicadas a conjuntos de dados representados por matrizes, o que facilita operações como a multiplicação matricial, usada para combinar dados com pesos em redes neurais. Além disso, matrizes são fundamentais para operações de transformação de dados, como na rotação de um vetor P = \binom{x}{y} no plano, realizada pela operação:

 

M. P = P', em que M ={ (−sen(θ)   cos(θ)cos(θ)   sen(θ))\begin{pmatrix} -sen( \theta)\,\,\,cos( \theta)\\cos ( \theta)\,\,\,sen( \theta) \end{pmatrix}}

 

Essa transformação pode ser utilizada em algoritmos de aprendizado de máquina para ajustar os dados de maneira que padrões ocultos possam ser mais bem identificados.


Com base nessas informações e nos conceitos de operações de matrizes, julgue o próximo item.


A matriz M permite que seja calculada a sua matriz inversa, dada por M-1 = - M.

  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Matriz inversa e a matriz de rotação

Gabarito: letra E (ERRADO). A matriz M dada não é uma matriz de rotação padrão e, além disso, a afirmação de que sua inversa é igual a −M é falsa. Para uma matriz de rotação, a inversa é a transposta (M⁻¹ = Mᵀ), e não o negativo da matriz. Vamos verificar isso calculando explicitamente a inversa de M.

A matriz M fornecida é:

M=(−sin⁡θcos⁡θcos⁡θsin⁡θ)M = \begin{pmatrix} -\sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}

Para encontrar a inversa de uma matriz 2×2, usamos a fórmula:

M−1=1det⁡(M)(d−b−ca)M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

onde M=(abcd)M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Calculando o determinante:

det⁡(M)=(−sin⁡θ)(sin⁡θ)−(cos⁡θ)(cos⁡θ)=−sin⁡2θ−cos⁡2θ=−(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=−1\det(M) = (-\sin\theta)(\sin\theta) - (\cos\theta)(\cos\theta) = -\sin^2\theta - \cos^2\theta = -(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -1

Portanto, a inversa é:

M−1=1−1(sin⁡θ−cos⁡θ−cos⁡θ−sin⁡θ)=(−sin⁡θcos⁡θcos⁡θsin⁡θ)M^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} \sin\theta & -\cos\theta \\ -\cos\theta & -\sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}

Observe que esse resultado é exatamente a própria matriz M! Ou seja, M⁻¹ = M. Isso significa que M é uma matriz involutiva (M² = I). A afirmação do item diz que M⁻¹ = −M, o que é falso, pois M⁻¹ = M, e não −M.

A confusão provavelmente vem do fato de que a matriz de rotação usual é:

R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

Para essa matriz, a inversa é a transposta: R(θ)⁻¹ = R(θ)ᵀ = R(−θ). Mas a matriz M do enunciado não é essa matriz de rotação padrão — ela tem os sinais trocados em posições específicas, o que a torna uma matriz de reflexão (ou uma rotação com reflexão), e por isso sua inversa é ela mesma, não o negativo.

Vamos verificar a propriedade M·M = I para confirmar que M⁻¹ = M:

M⋅M=(−sin⁡θcos⁡θcos⁡θsin⁡θ)⋅(−sin⁡θcos⁡θcos⁡θsin⁡θ)M \cdot M = \begin{pmatrix} -\sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}

Calculando cada elemento:

  • Elemento (1,1): (−sin⁡θ)(−sin⁡θ)+(cos⁡θ)(cos⁡θ)=sin⁡2θ+cos⁡2θ=1(-\sin\theta)(-\sin\theta) + (\cos\theta)(\cos\theta) = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

  • Elemento (1,2): (−sin⁡θ)(cos⁡θ)+(cos⁡θ)(sin⁡θ)=−sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ=0(-\sin\theta)(\cos\theta) + (\cos\theta)(\sin\theta) = -\sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta = 0

  • Elemento (2,1): (cos⁡θ)(−sin⁡θ)+(sin⁡θ)(cos⁡θ)=−sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ=0(\cos\theta)(-\sin\theta) + (\sin\theta)(\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta = 0

  • Elemento (2,2): (cos⁡θ)(cos⁡θ)+(sin⁡θ)(sin⁡θ)=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1(\cos\theta)(\cos\theta) + (\sin\theta)(\sin\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Portanto, M·M = I, confirmando que M⁻¹ = M. A afirmação do item está errada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a pensar que, por ser uma matriz de rotação, a inversa seria a transposta ou o negativo. Mas a matriz dada não é a matriz de rotação padrão — ela é uma matriz de reflexão, cuja inversa é ela mesma. O candidato que não calcular o determinante e a inversa explicitamente pode cair na armadilha de aceitar M⁻¹ = −M sem verificar.

Caso

Hipótese testada

Cálculo/Verificação

Resultado

1

M⁻¹ = −M

det(M) = −1; M⁻¹ = (1/det)·adj(M) = M

Falso (M⁻¹ = M, não −M)

2

M⁻¹ = M (involutiva)

M·M = I (elementos: 1, 0, 0, 1)

Verdadeiro (M⁻¹ = M)

3

M é matriz de rotação padrão

R(θ) = [[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]] ≠ M

Falso (M é reflexão, não rotação padrão)

Item — ❌ ERRADO

A afirmação "A matriz M permite que seja calculada a sua matriz inversa, dada por M⁻¹ = −M" é falsa. Como demonstrado, o determinante de M é −1, e a inversa calculada pela fórmula resulta em M⁻¹ = M, não −M. A matriz M é involutiva (M² = I), o que significa que ela é a própria inversa. Portanto, o item está errado.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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