Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402832

MatemáticaMatrizes

Código: ce402832
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UnB
Ano: 2024

Cargo: Vest ( )

Técnicas de ciência de dados são geralmente aplicadas a conjuntos de dados representados por matrizes, o que facilita operações como a multiplicação matricial, usada para combinar dados com pesos em redes neurais. Além disso, matrizes são fundamentais para operações de transformação de dados, como na rotação de um vetor P = \binom{x}{y} no plano, realizada pela operação:

M. P = P', em que M ={ $\begin{pmatrix} sen( \theta)\,\,\,cos( \theta)\\cos ( \theta)\,\,\,sen( \theta) \end{pmatrix}$ }

Essa transformação pode ser utilizada em algoritmos de aprendizado de máquina para ajustar os dados de maneira que padrões ocultos possam ser mais bem identificados.

Com base nessas informações e nos conceitos de operações de matrizes, julgue o próximo item.

Para $\theta = \frac{ \pi}{2}$ , a matriz M transforma o vetor em P = \binom{a}{a} em P^{ \prime} \binom{-a}{a}.

CCerto
EErrado

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GabaritoC — Certo

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Multiplicação de matrizes e transformações lineares

Gabarito: letra C (CERTO). Para $\theta = \frac{\pi}{2}$ , temos $\sin\theta = 1$ e $\cos\theta = 0$ . A matriz M torna-se $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , que é a matriz identidade. Multiplicando a identidade pelo vetor $P = \binom{a}{a}$ , obtemos $P' = \binom{a}{a}$ , e não $\binom{-a}{a}$ como afirma o item. Portanto, a afirmação está errada.

A questão envolve dois conceitos fundamentais: a multiplicação de matrizes e as transformações lineares no plano. A multiplicação de uma matriz $M$ (2×2) por um vetor coluna $P$ (2×1) resulta em outro vetor coluna $P'$ (2×1), onde cada componente de $P'$ é obtida pelo produto escalar da linha correspondente de $M$ com o vetor $P$ . Esse processo é a base das transformações geométricas, como rotações, reflexões e cisalhamentos.

No caso específico, a matriz $M = \begin{pmatrix} \sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}$ é uma matriz de transformação. Para $\theta = \frac{\pi}{2}$ (90°), os valores das funções trigonométricas são bem conhecidos: $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ e $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ . Substituindo na matriz, obtemos:

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Essa é a matriz identidade de ordem 2, que é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Ou seja, para qualquer vetor $P$ , temos $M \cdot P = P$ . Aplicando ao vetor $P = \binom{a}{a}$ :

M \cdot P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \binom{a}{a} = \binom{1 \cdot a + 0 \cdot a}{0 \cdot a + 1 \cdot a} = \binom{a}{a}

Portanto, $P' = \binom{a}{a}$ , e não $\binom{-a}{a}$ como afirma o item. O item está errado.

A pegadinha aqui é que o candidato pode associar a matriz dada a uma matriz de rotação clássica, que tem a forma $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ . Para $\theta = \frac{\pi}{2}$ , essa matriz de rotação seria $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , que aplicada ao vetor $\binom{a}{a}$ resultaria em $\binom{-a}{a}$ . No entanto, a matriz do enunciado não é a matriz de rotação padrão — ela tem os elementos da diagonal principal iguais a $\sin\theta$ e os da diagonal secundária iguais a $\cos\theta$ . Essa diferença sutil é o que torna o item incorreto.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a matriz de rotação clássica $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ por uma matriz com os elementos rearranjados $\begin{pmatrix} \sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}$ . Para $\theta = \frac{\pi}{2}$ , a primeira resultaria em $\binom{-a}{a}$ , mas a segunda resulta em $\binom{a}{a}$ . Fique atento à posição dos elementos!

Transformação de Vetores — só Vetor Original: a; só Vetor Transformado: -a; Vetor Original∩Vetor Transformado: a

Item — ❌ Errado

O item afirma que, para $\theta = \frac{\pi}{2}$ , a matriz M transforma o vetor $P = \binom{a}{a}$ em $P' = \binom{-a}{a}$ . Como demonstrado, para $\theta = \frac{\pi}{2}$ , temos $\sin\theta = 1$ e $\cos\theta = 0$ , o que torna M a matriz identidade. A multiplicação da identidade por qualquer vetor resulta no próprio vetor, logo $P' = \binom{a}{a}$ . O item está errado.

Gabarito: letra C (CERTO) — o item está errado, pois a transformação descrita não produz o vetor indicado.

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Questão de Matemática — Matrizes — CESPE / CEBRASPE 2024

Multiplicação de matrizes e transformações lineares

Item — ❌ Errado