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Questão de Matemática — Determinantes — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaDeterminantes
Código
ce402833
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )

Técnicas de ciência de dados são geralmente aplicadas a conjuntos de dados representados por matrizes, o que facilita operações como a multiplicação matricial, usada para combinar dados com pesos em redes neurais. Além disso, matrizes são fundamentais para operações de transformação de dados, como na rotação de um vetor P = \binom{x}{y} no plano, realizada pela operação:

 

M. P = P', em que M ={ \begin{pmatrix} -sen( \theta)\,\,\,cos( \theta)\\cos ( \theta)\,\,\,sen( \theta) \end{pmatrix}}

 

Essa transformação pode ser utilizada em algoritmos de aprendizado de máquina para ajustar os dados de maneira que padrões ocultos possam ser mais bem identificados.


Com base nessas informações e nos conceitos de operações de matrizes, julgue o próximo item.

 

O determinante da matriz M é igual a 1.

  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Determinante de uma matriz de rotação

Gabarito: letra E (ERRADO). O determinante da matriz M não é igual a 1; na verdade, é igual a −1. Calculando o determinante de uma matriz 2×2 (produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária), obtemos: det(M) = (−sen θ)·(sen θ) − (cos θ)·(cos θ) = −sen²θ − cos²θ = −(sen²θ + cos²θ) = −1, usando a identidade fundamental da trigonometria.

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, e para uma matriz de ordem 2, ele é calculado como o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. No caso da matriz M fornecida, temos:

M=(−sin⁡θcos⁡θcos⁡θsin⁡θ)M = \begin{pmatrix} -\sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}

Aplicando a definição de determinante para matrizes de ordem 2, temos:

det⁡(M)=(−sin⁡θ)(sin⁡θ)−(cos⁡θ)(cos⁡θ)=−sin⁡2θ−cos⁡2θ\det(M) = (-\sin\theta)(\sin\theta) - (\cos\theta)(\cos\theta) = -\sin^2\theta - \cos^2\theta

Pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1. Portanto:

det⁡(M)=−(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=−1\det(M) = -(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -1

O determinante é −1, não 1. A banca explora a confusão entre o determinante de uma matriz de rotação usual (que é 1) e esta matriz específica, que tem um sinal negativo no elemento a11a_{11}, resultando em determinante −1. Essa matriz representa uma reflexão seguida de rotação, e o determinante negativo indica que a transformação inverte a orientação do plano.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o sinal do determinante. O candidato pode lembrar que "matriz de rotação tem determinante 1" e marcar Certo, mas esta matriz não é uma rotação pura — é uma reflexão (det = −1). O sinal negativo no elemento a11a_{11} é o detalhe que inverte o resultado.

Grupo AGrupo Bsó Asó BA∩BLEVELsoulevel.com.br
Determinante da matriz M — só Grupo A: só A; só Grupo B: só B; Grupo A∩Grupo B: A∩B

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que o determinante da matriz M é igual a 1 está incorreta. O cálculo correto é:

det⁡(M)=(−sin⁡θ)(sin⁡θ)−(cos⁡θ)(cos⁡θ)=−sin⁡2θ−cos⁡2θ=−1\det(M) = (-\sin\theta)(\sin\theta) - (\cos\theta)(\cos\theta) = -\sin^2\theta - \cos^2\theta = -1

O valor é −1, não 1. A pegadinha está em não perceber o sinal negativo no primeiro elemento da matriz, que transforma o que seria uma rotação (det = 1) em uma reflexão (det = −1).

Gabarito: letra E (ERRADO).

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