Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2024

Rotação de vetores por matrizes: análise do quadrante resultante

Gabarito: letra E (ERRADO). Para $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$, o vetor $P = \binom{-1}{1}$ NÃO será rotacionado para o quarto quadrante. Aplicando a matriz $M = \begin{pmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \cos(\theta) & \sin(\theta) \end{pmatrix}$ ao vetor $P$, obtemos $P' = \binom{-\sin(\theta) - \cos(\theta)}{-\cos(\theta) + \sin(\theta)}$. No intervalo dado, $\sin(\theta) > 0$ e $\cos(\theta) < 0$, o que torna a primeira coordenada de $P'$ negativa (soma de dois números negativos) e a segunda coordenada positiva (soma de dois números positivos). Portanto, $P'$ está no segundo quadrante, não no quarto.

A questão envolve a aplicação de uma matriz de transformação a um vetor, um conceito central em álgebra linear e geometria analítica. A matriz fornecida não é a matriz de rotação padrão $\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$, mas sim uma variação que combina seno e cosseno de forma diferente. Para resolver, precisamos entender como a multiplicação matriz-vetor transforma as coordenadas e como os sinais das funções trigonométricas variam em cada quadrante.

No intervalo $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ (segundo quadrante do círculo trigonométrico), o seno é positivo e o cosseno é negativo. Isso é fundamental para determinar o sinal das coordenadas do vetor resultante. Vamos calcular explicitamente:

Agora, analisamos os sinais:

• Primeira coordenada: $\sin(\theta) + \cos(\theta)$. Como $\sin(\theta) > 0$ e $\cos(\theta) < 0$, a soma pode ser positiva ou negativa dependendo dos valores absolutos. Por exemplo, para $\theta = \frac{2\pi}{3}$, $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ e $\cos(\theta) = -\frac{1}{2} = -0.5$, então a soma é $0.866 - 0.5 = 0.366 > 0$. Para $\theta = \frac{3\pi}{4}$, $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ e $\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$, a soma é $0$. Para $\theta$ próximo de $\pi$, $\sin(\theta) \approx 0$ e $\cos(\theta) \approx -1$, a soma é negativa. Portanto, o sinal da primeira coordenada não é fixo no intervalo.

• Segunda coordenada: $-\cos(\theta) + \sin(\theta)$. Como $\cos(\theta) < 0$, então $-\cos(\theta) > 0$. E $\sin(\theta) > 0$. Portanto, a segunda coordenada é sempre positiva no intervalo.

Para que o vetor esteja no quarto quadrante, precisamos de primeira coordenada positiva e segunda coordenada negativa. Mas a segunda coordenada é sempre positiva, então o vetor nunca estará no quarto quadrante. Ele estará no primeiro quadrante (se a primeira coordenada for positiva) ou no segundo quadrante (se a primeira coordenada for negativa).

Vamos testar com um exemplo concreto: $\theta = \frac{2\pi}{3}$ (120°).

• $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

• $\cos(\theta) = -\frac{1}{2} = -0.5$

Então:

Ambas as coordenadas são positivas, então $P'$ está no primeiro quadrante.

Outro exemplo: $\theta = \frac{5\pi}{6}$ (150°).

• $\sin(\theta) = \frac{1}{2} = 0.5$

• $\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$

Então:

A primeira coordenada é negativa e a segunda é positiva, então $P'$ está no segundo quadrante.

Em nenhum caso o vetor resultante cai no quarto quadrante, pois a segunda coordenada é sempre positiva. Portanto, a afirmação está incorreta.

A pegadinha aqui é que o candidato pode confundir a matriz fornecida com a matriz de rotação padrão, que para $\theta$ no segundo quadrante rotacionaria o vetor de forma diferente. Mas mesmo com a matriz padrão, o vetor $\binom{-1}{1}$ (que está no segundo quadrante) rotacionado por um ângulo entre 90° e 180° não necessariamente iria para o quarto quadrante. A análise correta exige calcular explicitamente a transformação.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação diz que o vetor $P = \binom{-1}{1}$ será rotacionado para o quarto quadrante quando $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$. Calculando a transformação:

No intervalo dado, $\sin(\theta) > 0$ e $\cos(\theta) < 0$. Portanto, a segunda coordenada $-\cos(\theta) + \sin(\theta)$ é a soma de dois termos positivos, logo é sempre positiva. Para estar no quarto quadrante, seria necessário que a segunda coordenada fosse negativa, o que nunca ocorre. Assim, o vetor resultante está no primeiro ou segundo quadrante, dependendo do sinal da primeira coordenada, mas nunca no quarto. A afirmação é falsa.

Gabarito: letra E (ERRADO).